Назад

Задание олимпиады: треугольник и соотношение центров окружностей

Задача 152919 • Сложность: 4 • 8-9 класс
Задача

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно h. Найдите углы треугольника.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
4
Решение

Пусть O и Q — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, R и r — их радиусы; AQ перпендикулярно OQ.

По формуле Эйлера находим, что OQ = $\sqrt{R^{2}- 2rR}$. Тогда по условию задачи hR = $\sqrt{R^{2}- 2rR}$, откуда ${\frac{r}{R}}$ = ${\frac{1 - h^{2}}{2}}$.

Из прямоугольного треугольника AOQ находим, что

AQ = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}- OQ^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- (R^{2}- 2rR)}$ = $\displaystyle \sqrt{2rR}$.
ЕслиP— точка касания вписанной окружности со сторонойAB, то из прямоугольного треугольникаAPQследует, что
sin$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$A = $\displaystyle {\frac{PQ}{AQ}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sqrt{2rR}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$.
Поэтому
$\displaystyle \angle$A = 2 arcsin$\displaystyle {\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$.
Пусть продолжение отрезка OQ за точку Q пересекает описанную окружность в точке E, а продолжение отрезка AQ за точку Q — в точке M. Поскольку OE перпендикулярно AM, то точка E -- середина дуги AM. Поэтому
$\displaystyle \angle$AOE = $\displaystyle \angle$QOA = arccos$\displaystyle {\frac{OQ}{AO}}$ = arccos h = $\displaystyle {\frac{\cup AM}{2}}$ =
= $\displaystyle {\frac{\cup AB + \cup BM}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{2\angle C + 2\angle BAM}{2}}$ = $\displaystyle \angle$C + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$A.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$C = arccos h - arcsin$\displaystyle {\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$.
Ответ

2 arcsin${\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$;

arccos h - arcsin${\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$;

$\pi$ - arccos h - arcsin${\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет
Новый дизайн