Олимпиадная задача: две касающиеся окружности внутри полукруга

Задача

В полукруг помещены две окружности диаметром d и D (d < D) так, что каждая окружность касается дуги и диаметра полукруга, а также другой окружности. Через центры окружностей проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке M. Из точки M проведена касательная к дуге полукруга (N — точка касания). Найдите MN.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, r и R соответственно -- радиусы (r < R), A и B — точки касания с полуокружностью, C и K — точки пересечения прямой AB с первой и второй окружностью соответственно, P и Q — точки касания с диаметром полуокружности, H — центр полуокружности.

Поскольку треугольники AHB, KO₂B и AO₁C — равнобедренные, то

$\angle$ACO₁ = $\angle$KBO₂. Поэтому O₁C || O₂B.

Пусть L — точка пересечения прямых AB и O₁O₂. Тогда

$\displaystyle {\frac{LO_{1}}{LO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CO_{1}}{BO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{LO_{1}}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R-r}}$.

С другой стороны, т.к.O₁P||O₂Q, то

$\displaystyle {\frac{MO_{1}}{MO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}P}{O_{2}Q}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{MO_{1}}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R-r}}$ = $\displaystyle {\frac{LO_{1}}{O_{1}O_{2}}}$.

Следовательно, точкиLиMсовпадают. По теореме о касательной и секущей

MN² = MB^.MA = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$^.MC^.MA = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$^.MP².

ПустьF— проекцияO₁наO₂Q. Из прямоугольного треугольникаO₁FO₂находим, что

O₁F = $\displaystyle \sqrt{OO^{2} - OF^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(R+r)^{2}-(R-r)^{2}}$ = 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

Из подобия треугольниковMPO₁иO₁FO₂следует, что${\frac{MP}{O_{1}F}}$=${\frac{O_{1}P}{O_{2}F}}$. Отсюда находим, что

MP = $\displaystyle {\frac{O_{1}F\cdot O_{1}P}{O_{2}F}}$ = $\displaystyle {\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}$.

Следовательно,

MN² = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$^.$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}\right.$$\displaystyle {\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{4R^{2}r^{2}}{(R-r)^{2}}}$, MN = $\displaystyle {\frac{2rR}{R-r}}$ = $\displaystyle {\frac{dD}{D-d}}$.

Ответ

${\frac{Dd}{D-d}}$.

Задание по олимпиадной математике — две окружности в полукруге

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления