Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 3-5 с решениями

Точка <i>M</i> взята на стороне <i>AC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i>, а на продолжении стороны <i>BC</i> за точку <i>C</i> отмечена точка <i>N</i>, причём  <i>BM = MN</i>.

Докажите, что  <i>AM = CN</i>.

Внутри стороны <i>BC</i> правильного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>D</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i> и параллельная <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115920/problem_115920_img_2.gif">

В остроугольном неравнобедренном треугольнике<i> ABC </i>проведены высоты<i> AD </i>,<i> BE </i>и<i> CF </i>. Точки<i> X </i>,<i> Y </i>и<i> Z </i>таковы, что<i> D </i>,<i> E </i>и<i> F </i>являются серединами отрезков<i> BX </i>,<i> CY </i>и<i> AZ </i>соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников<i> ACX </i>,<i> ABY </i>и<i> BCZ </i>, являются вершинами треугольника, равного треугольнику<i> ABC </i>.

Окружность, вписанная в угол с вершиной <i>O</i>, касается его сторон в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Луч <i>OX</i> пересекает эту окружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, причём <i>OC = CD</i> = 1.  Если <i>M</i> – точка пересечения луча <i>OX</i> и отрезка <i>AB</i>, то чему равна длина отрезка <i>OM</i>?

Точка<i> D </i>, отличная от вершин<i> A </i>и<i> B </i>треугольника<i> ABC </i>, лежит на стороне<i> AB </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115917/problem_115917_img_2.gif">= <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115917/problem_115917_img_3.gif"> </i>. Докажите, что угол<i> ACB </i>— тупой.

Подобные прямоугольные треугольники<i> ABC </i>и<i> A'B'A </i>с прямыми углами при вершинах<i> B </i>и<i> B' </i>расположены на плоскости так, что точка<i> A' </i>лежит на луче<i> BC </i>за точкой<i> C </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'AC </i>, лежит на прямой<i> A'B' </i>.

<i> AB </i>— хорда окружности, делящая её на два сегмента.<i> M </i>и<i> N </i>середины дуг, на которые делят окружность точки<i> A </i>и<i> B </i>. При повороте вокруг точки<i> A </i>на некоторый угол точка<i> B </i>переходит в точку<i> B' </i>, а точка<i> M </i>— в точку<i> M' </i>. Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка<i> BB' </i>с точками<i> M' </i>и<i> N </i>, перпендикулярны.

В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>равны углы при вершинах<i> A </i>и<i> B </i>. Известно также, что<i> BC=</i>1и<i> AD=</i>3. Докажите, что<i> CD></i>2.

На сторонах треугольника<i> ABC </i>внешним образом построены подобные треугольники:<i> Δ A'BC <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115912/problem_115912_img_2.gif"> Δ B'CA <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115912/problem_115912_img_2.gif"> Δ C'AB </i>. Докажите, что в треугольниках<i> ABC </i>и<i> A'B'C' </i>точки пересечения медиан совпадают.

На стороне<i> BC </i>остроугольного треугольника<i> ABC </i>постройте такую точку<i> M </i>, что прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из<i> M </i>на прямые<i> AB </i>и<i> AC </i>, параллельна<i> BC </i>.

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Дан правильный треугольник <i>ABC</i> и произвольная точка <i>D</i>. Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>BCD, CAD</i> и <i>ABD</i> соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин <i>A, B</i> и <i>C</i> на прямые соответственно <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, пересекаются в одной точке.

Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ на прямые <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек <i>A, B</i> и <i>C</i> на прямые соответственно <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, также пересекаются в одной точке.

Вневписанные окружности треугольника <i>ABC</i> касаются сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно.

Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, пересекаются в одной точке.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, лежащих на прямых <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.

Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  <i>C</i>₁<i>A</i>² – <i>C</i>₁<i>B</i>² + <i>A</i>₁<i>B</i>² – <i>A</i>₁<i>C</i>² + <i>B</i>₁<i>C</i>² – <i>B</i>₁<i>A&...

Внутри треугольника<i> ABC </i>расположена окружность, которая касается его сторон<i> AB </i>и<i> BC </i>, а также проходит через точку<i> P </i>— центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>. Через точки<i> A </i>,<i> P </i>и<i> C </i>проведена другая окружность. Докажите, что эти окружности касаются друг друга.

В окружность вписан четырёхугольник<i> ABCD </i>. Прямые<i> AB </i>и<i> CD </i>пересекаются в точке<i> M </i>, а прямые<i> BC </i>и<i> AD </i>— в точке<i> N </i>. Известно, что<i> BM=DN </i>. Докажите, что<i> CM=CN </i>.

В треугольнике<i> ABC </i>угол при вершине<i> B </i>вдвое больше угла при вершине<i> C </i>. Окружность с центром в точке<i> A </i>и радиусом<i> AB </i>пересекает серединный перпендикуляр к отрезку<i> BC </i>в точке<i> P </i>(внутри треугольника). Докажите, что угол<i> PAC </i>в три раза меньше угла<i> BAC </i>.

Из точки<i> T </i>провели касательную<i> TA </i>и секущую, пересекающую окружность в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Биссектриса угла<i> ATC </i>пересекает хорды<i> AB </i>и<i> AC </i>в точках<i> P </i>и<i> Q </i>соответственно. Докажите, что<i> PA=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115726/problem_115726_img_2.gif"> </i>.

На окружности, касающейся сторон угла с вершиной<i> O </i>, выбраны две диаметрально противоположные точки<i> A </i>и<i> B </i>(отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке<i> B </i>пересекает стороны угла в точках<i> C </i>и<i> D </i>, а прямую<i> OA </i>— в точке<i> E </i>. Докажите, что<i> BC=DE </i>.

На сторонах<i> AB </i>и<i> CD </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>даны точки<i> E </i>и<i> H </i>соответственно. Докажите, что если треугольники<i> ABH </i>и<i> CDE </i>равновелики и<i> AE:BE=DH:CH </i>, то прямая<i> BC </i>параллельна прямой<i> AD </i>.

Докажите, что разность квадратов соседних сторон параллелограмма меньше произведения его диагоналей.

Отрезки <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Найдите углы этого треугольника, если известно, что он подобен треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

В трапеции одна из диагоналей равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен60<i>^o </i>. Докажите, что трапеция — равнобедренная.

На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.