Олимпиадная задача по планиметрии: перпендикуляры в правильном треугольнике

  Пусть вписанные окружности треугольников BCD, CAD и ABD касаются сторон BC, AC и AB в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Тогда прямые, проходящие через точки A₂, B₂ и C₂ перпендикулярно прямым соответственно BC, AC и AB, совпадают с прямыми A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂.

  Обозначим  AB = BC = AC = a,  AD = x,  BD = y,  CD = z .  Тогда  C₂A = ½ (a + x – y),  C₂B = ½ (a + y – x),  A₂B = ½ (a + y – z),  A₂C = ½ (a + z – y), B₂C = ½ (a + z – x),  B₂A = ½ (a + x – z)  (см. задачу 155404), поэтому

C₂A² – C₂B² + A₂B² – A₂C² + B₂C² – B₂A² =

      = ¼ (a + x – y)² – ¼ (a + z – y)² + ¼ (a + z – x)² – ¼ (a + z – y)² + ¼ (a + z – x)² – ¼ (a + x – z)² = ¼ ((2x – 2y)2a + (2y – 2z)2a + (2z – 2x)2a) = 0.

По теореме Карно (см. задачу 215905) прямые, проходящие через точки A₁, B₁ и C₁ перпендикулярно прямым соответственно BC, AC и AB, пересекаются в одной точке. Следовательно, согласно задаче 215907 перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, также пересекаются в одной точке.

Ответ задачи отсутствует