Олимпиадная задача по планиметрии: углы в подобных треугольниках для 8–9 класса

  Пусть углы при вершинах A, B и C равны α, β и γ соответственно, причём  α ≥ β ≥ γ,  а высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H.

  Предположим, что треугольник ABC – остроугольный (рис. слева).

  Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром CH. Поэтому  ∠HA₁B₁ = ∠HCB₁ = 90° – α.

  Аналогично  ∠HA₁C₁ = 90° – α,  следовательно,  ∠B₁A₁C₁ = 180° – 2α.

 Аналогично  ∠A₁B₁C₁ = 180° – 2β,  ∠A₁C₁B₁ = 180° – 2γ.  Так как  α ≥ β ≥ γ,  то  180° – 2γ ≥ 180° – 2β ≥ 180° – 2α.  Значит,  180° – 2γ = α,  180° – 2β = β,  180° – 2α = γ,  откуда  α = β = γ = 60°,  то есть треугольник ABC – равносторонний.

  Предположим, что  α > 90°  (рис. справа).   ТочкиB₁иC₁лежат на окружности с диаметромAH, поэтому  ∠B₁HC₁= 180° – ∠B₁AC₁= 180° – α.   ТочкиA₁иC₁лежат на окружности с диаметромAC, поэтому  ∠AA₁C₁= ∠ACC₁= ∠ABB₁= 90° – ∠B₁HC₁= 90° – (180° – α) = α – 90°.   Аналогично  ∠AA₁B₁= α – 90°.  Следовательно,  ∠B₁A₁C₁= 2α – 180°.   Кроме того,  ∠AC₁A₁= ∠ACA₁= γ,  ∠AC₁B₁= ∠AHB₁= 90° – ∠HBA₁= 90° – (α – 90°) – β = γ,  следовательно,  ∠A₁C₁B₁= ∠AC₁A₁+ ∠AC₁B₁= 2γ.   Аналогично  ∠A₁B₁C₁= 2β.  Рассмотрим три случая.   1) Наибольший угол треугольникаA₁B₁C₁равен  2α – 180°.  Тогда  2α – 180° = α,  то есть  α = 180°,  что невозможно.   2) Наибольший угол треугольникаA₁B₁C₁равен 2β, а наименьший – 2γ. Тогда  2γ = γ,  что также невозможно.   3) Наибольший угол треугольникаA₁B₁C₁равен 2β, а наименьший –  2α – 180°.  Тогда  2β = α,  2γ = β,  2α – 180° = γ.   Из этой системы находим, что  γ =^180°/₇,  β =^360°/₇,  α =^720°/₇.

60°, 60°, 60°  или  ^720°/₇,  ^360°/₇,  ^180°/₇.