Олимпиадная задача: Вневписанные окружности треугольника и точки пересечения перпендикуляров
Нет ответа
Задача
Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке.
Решение
Обозначим BC = a, AC = b, AB = c, p – полупериметр треугольника ABC, а вневписанная окружность треугольника ABC, касающаяся стороны BC, касается продолжения стороны AB в точке M. Тогда BA1 = AB1 = p – c, CA1 = AC1 = p – b, CB1 = BC1 = p – a (см. задачу 155404), поэтому
A1B² – A1C² + B1C² – B1A² + C1A² – C1B² = (p – c)² – (p – b)² + (p – a)² – (p – c)² + (p – b)²– (p – a² = 0. Осталось применить теорему Карно (см. задачу 215905).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет