Задача № 215910
На стороне BC остроугольного треугольника ABC постройте такую точку M , что прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из M на прямые AB и AC , параллельна BC .
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215909
Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.
Задача № 215908
Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A1, B1 и C1 – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B1C1, A1C1 и A1B1, пересекаются в одной точке.
Задача № 215907
Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и C1 на прямые BC, AC и AB соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые соответственно B1C1, A1C1 и A1B1, также пересекаются в одной точке.
Задача № 215906
Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке.
Задача № 215905
Дан треугольник ABC. Из точек A1, B1 и C1, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда C1A² – C1B² + A1B² – A1C² + B1C² – B1A² = 0.
Задача № 215729
Внутри треугольника ABC расположена окружность, которая касается его сторон AB и BC , а также проходит через точку P — центр вписанной окружности треугольника ABC . Через точки A , P и C проведена другая окружность. Докажите, что эти окружности касаются друг друга.
Задача № 215728
В окружность вписан четырёхугольник ABCD . Прямые AB и CD пересекаются в точке M , а прямые BC и AD — в точке N . Известно, что BM=DN . Докажите, что CM=CN .
Задача № 215727
В треугольнике ABC угол при вершине B вдвое больше угла при вершине C . Окружность с центром в точке A и радиусом AB пересекает серединный перпендикуляр к отрезку BC в точке P (внутри треугольника). Докажите, что угол PAC в три раза меньше угла BAC .
Задача № 215726
Из точки T провели касательную TA и секущую, пересекающую окружность в точках B и C . Биссектриса угла ATC пересекает хорды AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что PA= .
Задача № 215725
Две точки, выбранные на противоположных сторонах прямоугольника, соединены отрезками с вершинами прямоугольника. Докажите, что площади семи частей, на которые разбился при этом прямоугольник, не могут оказаться все одинаковы.
Задача № 215724
Точки P и Q лежат на сторонах соответственно BC и CD квадрата ABCD, причём треугольник APQ – равносторонний. Прямая, проходящая через точку P перпендикулярно стороне AQ, пересекает AD в точке E. Точка F расположена вне треугольника APQ, причём треугольники PQF и AQE равны. Докажите, что FE = 2FC.
Задача № 215723
На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O , выбраны две диаметрально противоположные точки A и B (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B пересекает стороны угла в точках C и D , а прямую OA — в точке E . Докажите, что BC=DE .
Задача № 215722
На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD даны точки E и H соответственно. Докажите, что если треугольники ABH и CDE равновелики и AE:BE=DH:CH , то прямая BC параллельна прямой AD .
Задача № 215721
Докажите, что разность квадратов соседних сторон параллелограмма меньше произведения его диагоналей.
Задача № 215720
Отрезки AA1, BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Найдите углы этого треугольника, если известно, что он подобен треугольнику A1B1C1.
Задача № 215719
В трапеции одна из диагоналей равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен60o . Докажите, что трапеция — равнобедренная.
Задача № 215718
На плоскости дан квадрат ABCD . Найдите минимум частного , где O — произвольная точка плоскости.
Задача № 215717
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, E — середина отрезка DF . Докажите, что AD+FC AE+EC .
Задача № 215716
Точки D, E и F выбраны на сторонах AC, AB и BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) так, что DE = DF и при этом ∠BAC = ∠FDE. Докажите, что AE + FC = AC.
Задача № 215715
Точки D, E и F выбраны на сторонах AC, AB и BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) так, что DE = DF и при этом AE + FC = AC. Докажите, что ∠A = ∠FDE.
Задача № 215706
В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке D , причём CDA = 120o . Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD , DC и дуги AC , если OC = 2, OD = .
Задача № 215705
Стороны треугольника равны 10, 17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.
Задача № 215704
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите основание треугольника.
Задача № 215703
Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4.
176–200 из 7538