Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

На стороне<i> BC </i>остроугольного треугольника<i> ABC </i>постройте такую точку<i> M </i>, что прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из<i> M </i>на прямые<i> AB </i>и<i> AC </i>, параллельна<i> BC </i>.

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Дан правильный треугольник <i>ABC</i> и произвольная точка <i>D</i>. Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>BCD, CAD</i> и <i>ABD</i> соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин <i>A, B</i> и <i>C</i> на прямые соответственно <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, пересекаются в одной точке.

Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ на прямые <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек <i>A, B</i> и <i>C</i> на прямые соответственно <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, также пересекаются в одной точке.

Вневписанные окружности треугольника <i>ABC</i> касаются сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно.

Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, пересекаются в одной точке.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, лежащих на прямых <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.

Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  <i>C</i>₁<i>A</i>² – <i>C</i>₁<i>B</i>² + <i>A</i>₁<i>B</i>² – <i>A</i>₁<i>C</i>² + <i>B</i>₁<i>C</i>² – <i>B</i>₁<i>A&...

Внутри треугольника<i> ABC </i>расположена окружность, которая касается его сторон<i> AB </i>и<i> BC </i>, а также проходит через точку<i> P </i>— центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>. Через точки<i> A </i>,<i> P </i>и<i> C </i>проведена другая окружность. Докажите, что эти окружности касаются друг друга.

В окружность вписан четырёхугольник<i> ABCD </i>. Прямые<i> AB </i>и<i> CD </i>пересекаются в точке<i> M </i>, а прямые<i> BC </i>и<i> AD </i>— в точке<i> N </i>. Известно, что<i> BM=DN </i>. Докажите, что<i> CM=CN </i>.

В треугольнике<i> ABC </i>угол при вершине<i> B </i>вдвое больше угла при вершине<i> C </i>. Окружность с центром в точке<i> A </i>и радиусом<i> AB </i>пересекает серединный перпендикуляр к отрезку<i> BC </i>в точке<i> P </i>(внутри треугольника). Докажите, что угол<i> PAC </i>в три раза меньше угла<i> BAC </i>.

Из точки<i> T </i>провели касательную<i> TA </i>и секущую, пересекающую окружность в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Биссектриса угла<i> ATC </i>пересекает хорды<i> AB </i>и<i> AC </i>в точках<i> P </i>и<i> Q </i>соответственно. Докажите, что<i> PA=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115726/problem_115726_img_2.gif"> </i>.

Две точки, выбранные на противоположных сторонах прямоугольника, соединены отрезками с вершинами прямоугольника.

Докажите, что площади семи частей, на которые разбился при этом прямоугольник, не могут оказаться все одинаковы.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> лежат на сторонах соответственно <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i>, причём треугольник <i>APQ</i> – равносторонний. Прямая, проходящая через точку <i>P</i> перпендикулярно стороне <i>AQ</i>, пересекает <i>AD</i> в точке <i>E</i>. Точка <i>F</i> расположена вне треугольника <i>APQ</i>, причём треугольники <i>PQF</i> и <i>AQE</i> равны.

Докажите, что  <i>FE</i> = 2<i>FC</i>.

На окружности, касающейся сторон угла с вершиной<i> O </i>, выбраны две диаметрально противоположные точки<i> A </i>и<i> B </i>(отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке<i> B </i>пересекает стороны угла в точках<i> C </i>и<i> D </i>, а прямую<i> OA </i>— в точке<i> E </i>. Докажите, что<i> BC=DE </i>.

На сторонах<i> AB </i>и<i> CD </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>даны точки<i> E </i>и<i> H </i>соответственно. Докажите, что если треугольники<i> ABH </i>и<i> CDE </i>равновелики и<i> AE:BE=DH:CH </i>, то прямая<i> BC </i>параллельна прямой<i> AD </i>.

Докажите, что разность квадратов соседних сторон параллелограмма меньше произведения его диагоналей.

Отрезки <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Найдите углы этого треугольника, если известно, что он подобен треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

В трапеции одна из диагоналей равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен60<i>^o </i>. Докажите, что трапеция — равнобедренная.

На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.

На сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>отмечены точки<i> D </i>и<i> F </i>соответственно,<i> E </i>— середина отрезка<i> DF </i>. Докажите, что<i> AD+FC <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115717/problem_115717_img_2.gif"> AE+EC </i>.

Точки <i>D, E</i> и <i>F</i> выбраны на сторонах <i>AC, AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>) так, что  <i>DE = DF</i>  и при этом  ∠<i>BAC</i> = ∠<i>FDE</i>.

Докажите, что  <i>AE + FC = AC</i>.

Точки <i>D, E</i> и <i>F</i> выбраны на сторонах <i>AC, AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  так, что  <i>DE = DF</i>  и при этом  <i>AE + FC = AC</i>.

Докажите, что  ∠<i>A</i> = ∠<i>FDE</i>.

В круге с центром<i> O </i>хорда<i> AB </i>пересекает радиус<i> OC </i>в точке<i> D </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115706/problem_115706_img_2.gif"> CDA = </i>120<i>^o </i>. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков<i> AD </i>,<i> DC </i>и дуги<i> AC </i>, если<i> OC = </i>2,<i> OD = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115706/problem_115706_img_3.gif"> </i>.

Стороны треугольника равны 10, 17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите основание треугольника.

Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4.