Задача № 216102
Окружности с центрами O1и O2имеют общую хорду AB , AO1B = 120o . Отношение длины второй окружности к длине первой равно . Найдите угол AO2B .
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216101
Пусть r — радиус вписанной окружности, а ra , rb и rc — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что а) = + + ; б) S = .
Задача № 216100
Окружность радиуса 3 проходит через вершину B , середины сторон AB и BC , а также касается стороны AC треугольника ABC . Угол BAC — острый, и sin BAC = . Найдите площадь треугольника ABC .
Задача № 216099
На окружности, описанной около прямоугольника ABCD , выбрана точка K . Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2. Пусть O — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD .
Задача № 216098
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.
Задача № 216097
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Задача № 216096
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.
Задача № 216095
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов. Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.
Задача № 216094
Точки X' и Y' – образы точек X и Y при инверсии относительно окружности с центром O радиуса R, причём точки X и Y отличны от O. Докажите, что X'Y' = XY· .
Задача № 216093
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.
Задача № 216092
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.
Задача № 216091
С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.
Задача № 216090
Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
Задача № 215947
Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше360o .
Задача № 215946
Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.
Задача № 215945
Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.
Задача № 215944
В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.
Задача № 215943
В тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , P — произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки O до середин рёбер AC и BD равна сумме квадратов расстояний от точки P до середин рёбер AD и BC .
Задача № 215942
Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?
Задача № 215941
Дан трёхгранный угол с вершиной O и точка A на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки B и C . Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC .
Задача № 215940
В основании пирамиды объёма V лежит трапеция с основаниями m и n . Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма U , а в сечении получается снова трапеция с основаниями m1и n1. Докажите, что = .
Задача № 215939
Докажите, что две непересекающиеся окружности S1и S2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Задача № 215938
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
Задача № 215937
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке M , отличной от точки O , то их образы при инверсии относительно окружности с центром O также касаются, а при инверсии с центром M окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.
Задача № 215936
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.
126–150 из 7538