Задача № 216121
С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 4-8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216120
Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF. Найдите угол между прямыми AM и BN.
Задача № 216119
Шестиугольник ABCDEF – правильный, K и M – середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK – правильный.
Задача № 216118
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая — на данной прямой, а третья — в данной точке.
Задача № 216117
С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD точки M и N так, чтобы угол при вершине A равнобедренного треугольника MAN был равен α .
Задача № 216116
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360o , является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360o .
Задача № 216115
С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
Задача № 216114
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.
Задача № 216113
Даны точки A и B и окружность S . С помощью циркуля и линейки постройте на окружности S такие точки C и D , что AC || BD и дуга CD имеет данную величину α .
Задача № 216112
С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.
Задача № 216111
Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P – точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что SABP = SMDNP.
Задача № 216110
Дан треугольник ABC . На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.
Задача № 216109
На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника равносторонние треугольники BCA1, CAB1, ABC1, и проведены отрезки AA1, BB1и CC1. Докажите, что а) эти отрезки равны между собой; б) эти отрезки пересекаются в одной точке; в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков AA1, BB1, CC1.
Задача № 216108
Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом α .
Задача № 216107
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC . Пусть P и Q — середины отрезков A1B1и A1C1. Докажите, что треугольник APQ правильный.
Задача № 216106
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Задача № 216105
Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
Задача № 216104
Расстояние между параллельными прямыми равно . На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , равен . Найдите AB .
Задача № 216103
Высоты AA1и BB1треугольника ABC пересекается в точке H . Прямые AC и A1B1пересекаются в точке D . Докажите, что прямая DH перпендикулярна медиане BM треугольника ABC .
Задача № 216102
Окружности с центрами O1и O2имеют общую хорду AB , AO1B = 120o . Отношение длины второй окружности к длине первой равно . Найдите угол AO2B .
Задача № 216101
Пусть r — радиус вписанной окружности, а ra , rb и rc — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что а) = + + ; б) S = .
Задача № 216100
Окружность радиуса 3 проходит через вершину B , середины сторон AB и BC , а также касается стороны AC треугольника ABC . Угол BAC — острый, и sin BAC = . Найдите площадь треугольника ABC .
Задача № 216099
На окружности, описанной около прямоугольника ABCD , выбрана точка K . Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2. Пусть O — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD .
Задача № 216098
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.
Задача № 216097
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
76–100 из 6014