Задача № 130845
Что больше а) 2300 или 3200? б) 240 или 328? в) 544 или 453?
Олимпиадные задачи по математике — страница 913
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 130844
Какое число больше: 3111 или 1714?
Задача № 130843
Докажите, что из набора 0, 1, 2, ..., ½ (3k – 1) можно выбрать 2k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.
Задача № 130842
Докажите, что из набора 0, 1, 2, ..., 3k – 1 можно выбрать 2k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.
Задача № 130841
Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа:a,bиc. Иван Царевич должен назвать ему три числа:X,Y,Z, после чего Кащей сообщит ему суммуaX + bY + cZ. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?
Задача № 130840
Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?
Задача № 130839
Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть только на одну чашку весов?
Задача № 130838
Сформулируйте и докажите признак делимости на а) делитель числа "основание системы счисления – 1" (аналогичный признаку делимости на 3). б) "основание + 1" (аналогичный признаку делимости на 11). в) делитель числа "основание + 1" (аналога нет!).
Задача № 130837
Сформулируйте и докажите признак делимости на а) степень основания системы счисления (аналогичный признакам делимости на 100, 1000, ...). б) делитель основания системы счисления (аналогичный признакам делимости на 2 и на 5).
Задача № 130836
Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?
Задача № 130835
На доске сохранилась полустертая запись Выясните, в какой системе счисления записан пример и восстановите слагаемые.
Задача № 130834
Сформулируйте (и докажите) условие, позволяющее определить четность числа по его записиа) в троичной системе счисления;б) в системе счисления с основанием n.
Задача № 130833
Существует ли система счисления, в которой одновременноа) 3 + 4 = 10 и 3 · 4 = 15;б) 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 11?
Задача № 130832
В какой системе счисления справедливо равенство 3 · 4 = 10?
Задача № 130831
В стране Ориентация на всех дорогах введено одностороннее движение, причём из каждого города в любой другой можно добраться, проехав не более чем по двум дорогам. Одну дорогу закрыли на ремонт так, что из каждого города по-прежнему можно добраться до любого другого. Докажите, что для каждых двух городов это можно сделать, проехав не более чем по трём дорогам.
Задача № 130830
В некотором государстве 101 город. а) Каждый город соединен с каждым из остальных дорогой с односторонним движением, причём в каждый город входит 50 дорог и из каждого города выходит 50 дорог. Докажите, что из каждого города можно доехать в любой другой, проехав не более чем по двум дорогам. б) Некоторые города соединены дорогами с односторонним движением, причём в каждый город входит 40 дорог и из каждого города выходит 40 дорог. Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого, проехав не более чем по трём дорогам.
Задача № 130829
Какие-то две команды набрали в круговом волейбольном турнире одинаковое число очков. Докажите, что найдутся такие команды А, В и С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С выиграла у А.
Задача № 130828
20 команд сыграли круговой турнир по волейболу. Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.
Задача № 130827
В одном государстве 100 городов и каждый соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения не более чем на одной дороге так, чтобы от каждого города можно было доехать до любого другого.
Задача № 130826
Несколько команд сыграли между собой круговой турнир по волейболу. Будем говорить, что командаАсильнее командыB, если либоАвыиграла уB, либо существует такая командаC, чтоАвыиграла уC, аC– уB. а) Докажите, что есть команда, которая сильнее всех. б) Докажите, что команда, выигравшая турнир, сильнее всех.
Задача № 130825
В некоторой стране каждый город соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что найдётся город, из которого можно добраться в любой другой.
Задача № 130824
На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны. Докажите, что двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой.
Задача № 130823
В связном графе степени всех вершин чётны. Докажите, что на рёбрах этого графа можно расставить стрелки так, чтобы выполнялись следующие условия: а) двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой; б) для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.
Задача № 130822
Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.
Задача № 130821
В некотором государстве каждый город соединён с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы выехав из любого города, в него нельзя было вернуться. Можно ли так сделать?
0–0 из 23247