Задание олимпиады: выбор чисел из 0,…,3ᵏ–1 без средних арифметических

Будем считать, что троичная запись каждого из данных чисел состоит ровно из k цифр (при необходимости заполним пустующие старшие разряды нулями). Выберем те числа, троичная запись которых содержит только цифры 0 и 1. Их ровно 2^k. Покажем, что это и есть искомый набор. Предположим противное: среди выбранных чисел есть три различных числа x, y, z, удовлетворяющих равенству  x + y = 2z.  Так как числа x и y различаются хотя бы в одном разряде, то в троичной записи их суммы  x + y  в этом разряде стоит цифра 1. Однако в записи числа 2z встречаются только 0 и 2.