Олимпиадная задача: выбор чисел без средних арифметических

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  ½ (3^k – 1)  можно выбрать 2^k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.