Задача № 216896
В треугольнике ABC провели биссектрисы BB' и CC', а затем стёрли весь рисунок, кроме точек A, B' и C'. Восстановите треугольник ABC при помощи циркуля и линейки.
Олимпиадные задачи по математике — класс: 8–10 — страница 4
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 216895
Точка M – середина основания AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC. Точка N симметрична M относительно BC. Прямая, параллельная AC и проходящая через точку N, пересекает сторону AB в точке K. Найдите угол AKC.
Задача № 216894
Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?
Задача № 216893
Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?
Задача № 216892
Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству .
Задача № 216891
В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?
Задача № 216890
В треугольнике ABC: ∠B = 22,5°, ∠C = 45°. Докажите, что высота АН, медиана BM и биссектриса CL пересекаются в одной точке.
Задача № 216889
Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0. Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0, 1).
Задача № 216888
На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга. Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.
Задача № 216887
В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.
Задача № 216886
Найдите наибольшее значение выражения x² + y², если |x – y| ≤ 2 и |3x + y| ≤ 6.
Задача № 216885
Дан правильный девятиугольник. Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?
Задача № 216884
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
Задача № 216883
Сравните: sin 3 и sin 3°.
Задача № 216882
На какую наибольшую степень двойки делится число 1020 – 220?
Задача № 216881
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?
Задача № 216880
Последовательность an задана условием: an+1 = an – an–1. Найдите a100, если a1 = 3, a2 = 7.
Задача № 216879
В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина N ребра B1C1 верхней грани A1B1C1D1 соединена с серединой M ребра AB нижней грани ABCD. Прямые B1C1 и AB не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер B1C1 и AB на прямую MN равны между собой.
Задача № 216878
В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?
Задача № 216877
Точка Х расположена на диаметре АВ окружности радиуса R. Точки K и N лежат на окружности в одной полуплоскости относительно АВ, а ∠KXA = ∠NXB = 60°. Найдите длину отрезка KN.
Задача № 216876
Функция f(x) такова, что для всех значений x выполняется равенство f(x + 1) = f(x) + 2x + 3. Известно, что f(0) = 1. Найдите f(2012).
Задача № 216875
Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по четыре новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?
Задача № 216874
Известно, что tg A + tg B = 2 и ctg A + ctg B = 3. Найдите tg (A + B).
Задача № 216873
Даны n + 1 попарно различных натуральных чисел, меньших 2n (n > 1). Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.
Задача № 216872
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.
0–0 из 18774