Олимпиадная задача по планиметрии: середины сторон четырёхугольника и квадрат

Рассмотрим четырёхугольник АВСD с равными и перпендикулярными диагоналями AC и BD (например, равнобокую трапецию с перпендикулярными диагоналями или дельтоид с равными диагоналями). Середины его сторон образуют параллелограмм (см. задачу 153475). Из условия следует равенство и перпендикулярность сторон этого параллелограмма KLMN, поэтому он является квадратом.