Олимпиадная задача по планиметрии для 10–11 класса: отрезок KN на окружности

Рассмотрим точку K', симметричную точке K относительно диаметра АВ (см. рисунок). Она лежит на той же окружности и  ∠KXA = 60°.  Тогда сумма трёх углов с вершиной в точке Х (отмеченных на чертеже) равна 180°. Следовательно, точки K', X и N лежат на одной прямой.

Треугольник K'XK – равнобедренный с углом 120° при вершине. Следовательно, вписанный угол KK'N равен 30°, а центральный угол KON равен 60°. Таким образом,  KN = R.