Олимпиадная задача: может ли десятичное число с убывающими цифрами быть кратным 111?

   Предположим, что числа, указанные в условии и кратные 111, существуют. Пусть А – наименьшее среди них. Возможны два случая.

   1) Число А оканчивается нулем. Стерев его, мы получим меньшее число с цифрами в порядке убывания, также кратное 111. Противоречие.

   2) А оканчивается на ненулевую цифру. Тогда число  А – 111  также кратно 111 и цифры в его записи расположены в порядке убывания. Снова противоречие.