Олимпиадная задача о точке на дуге равнобокой трапеции и вписанной окружности, 9–10 класс

  Пусть K, L, N и S – основания перпендикуляров (см. рис.).

  Из равенства сторон AB и CD следует равенство соответствующих дуг, а следовательно и вписанных углов AMB и DMC, опирающихся на эти дуги. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Так как  ∠AKM = ∠ANM = 90°,  то точки A, K, N и M лежат на одной окружности. Аналогично точки D, L, S и M лежат на одной окружности.

  Используя равенство вписанных углов, получим, что  ∠KNL = 90° – ∠KNA = 90° – ∠KMA = 90° – ∠LMD = 90° ∠LSD = ∠KSL,  то есть точки K, L, N и S лежат на одной окружности.

  Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично.

  Второй способ. Треугольники MSD и MNA (а также MLD и MKA) подобны по двум углам. Следовательно,  MS : MN = MD : MA = ML : MK,  то есть  ML·MN = MS·MK.  Используя утверждение, обратное свойству секущих, получим требуемое.