Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 4 с решениями
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> так, что прямые <!-- MATH $AA_{1}, BB_{1}$ --> <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если:
а) два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;
б) два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.
В полукруг помещены две окружности диаметром <i>d</i> и <i>D</i> (<i>d</i> < <i>D</i>) так, что каждая окружность касается дуги и диаметра полукруга, а также другой окружности. Через центры окружностей проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке <i>M</i>. Из точки <i>M</i> проведена касательная к дуге полукруга (<i>N</i> — точка касания). Найдите <i>MN</i>.
Пусть <i>A</i> – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую <i>l</i>. На этой прямой взяты еще две точки <i>B</i> и <i>C</i> так, что
<i>AB = AC</i>. Через точки <i>B</i> и <i>C</i> проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, вторая – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть прямые <i>PM</i> и <i>QN</i> пересекают прямую <i>l</i> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что <i>AR = AS</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> через середину <i>M</i> стороны <i>BC</i> и центр <i>O</i> вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая <i>MO</i>, которая пересекает высоту <i>AH</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что отрезок <i>AE</i> равен радиусу вписанной окружности.
Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>K</i>, причём угол <i>AKC</i> равен разности углов <i>A</i> и <i>C</i> треугольника. Разность сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> равна <!-- MATH $\frac{8}{\sqrt{3}}$ --> ${\frac{8}{\sqrt{3}}}$, а расстояние от точки <i>O</i> до стороны <i>AB</i> на 2 больше расстояния от точки <i>O</i> до стороны <i>AC</i>. Найдите радиус окружности.
Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>B</i> пересекается с прямой <i>AC</i> в точке <i>K</i>, причём угол <i>AKB</i> равен разности учетверённого угла <i>A</i> и угла <i>B</i> треугольника. Сторона <i>AB</i> в два раза длиннее стороны <i>AC</i>, а расстояние от точки <i>O</i> до стороны <i>AC</i> на 1 больше расстояния от точки <i>O</i> до стороны <i>AB</i>. Найдите радиус окружности.
Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>C</i> пересекается с прямой, делящей пополам угол <i>B</i> треугольника, в точке <i>K</i>, причём угол <i>BKC</i> равен половине угла <i>C</i> треугольника. Сторона <i>AB</i> на $\sqrt{3}$ длиннее стороны <i>AC</i>, а расстояние от точки <i>O</i> до стороны <i>AC</i> на 1 больше расстояния от точки <i>O</i> до стороны <i>AB</i>. Найдите радиус окружности.
Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром в точке <i>O</i>. Касательная к окружности в точке <i>C</i> пересекается с прямой, делящей пополам угол <i>B</i> треугольника, в точке <i>K</i>, причём угол <i>BKC</i> равен половине разности утроенного угла <i>A</i> и угла <i>C</i> треугольника. Сумма сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> равна <!-- MATH $2 + \sqrt{3}$ --> 2 + $\sqrt{3}$, а сумма расстояний от точки <i>O</i> до сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> равна 2. Найдите радиус окружности.
Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.
Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно <i>m</i>. Найдите углы треугольника.
В треугольнике <i>PQR</i> точка <i>A</i> — центр вписанной окружности, а точка <i>B</i> — центр окружности, описанной около треугольника <i>PQR</i>. Прямая <i>AB</i> перпендикулярна биссектрисе <i>QA</i> треугольника <i>PQR</i>. Известно, что угол <i>ABQ</i> равен $\beta$. Найдите углы треугольника <i>PQR</i>.
Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу вписанной окружности равно <i>k</i>. Найдите углы треугольника.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>P</i> — центр вписанной окружности, а точка <i>Q</i> — центр окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>PQ</i> перпендикулярна биссектрисе <i>AP</i> треугольника <i>ABC</i>. Известно, что величина угла <i>PAQ</i> равна $\alpha$. Найдите углы треугольника.
Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно <i>h</i>. Найдите углы треугольника.
На дуге окружности, стягиваемой хордой <i>KN</i>, взяты точки <i>L</i> и <i>M</i>. Биссектрисы углов <i>KLM</i> и <i>LMN</i> пересекаются в точке <i>P</i>, лежащей на хорде <i>KN</i>. Известно, что отношение длины хорды <i>KL</i> к длине хорды <i>KN</i> равно <!-- MATH $\frac{2}{5}$ --> ${\frac{2}{5}}$. Найдите:
а) отношение расстояний от точки <i>P</i> до прямых <i>KL</i> и <i>MN</i>;
б) отношение площадей треугольников <i>KLP</i> и <i>MPN</i>.
В четырёхугольнике <i>KLMN</i>, вписанном в окружность, биссектрисы углов <i>K</i> и <i>N</i> пересекаются в точке <i>P</i>, лежащей на стороне <i>LM</i>. Известно, что отношение длины отрезка <i>KL</i> к длине отрезка <i>MN</i> равно <i>b</i>. Найдите:
а) отношение расстояний от точки <i>P</i> до прямых <i>KL</i> и <i>MN</i>;
б) отношение длины хорды <i>LM</i> к длине хорды <i>MN</i>.
Пусть <i>M</i> — точка пересечения биссектрис внутреннего угла <i>B</i> и внешнего угла <i>C</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>N</i> — точка пересечения биссектрис внешнего угла <i>B</i> и внутреннего угла <i>C</i>. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> лежит на окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>.
На стороне <i>AD</i> вписанного в окружность четырёхугольника <i>ABCD</i> находится центр окружности, касающейся трёх других сторон четырёхугольника. Найдите <i>AD</i>, если <i>AB</i> = 2 и <i>CD</i> = 3.
Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>D</i>, <i>E</i> и <i>F</i> так, что <i>DE</i> = <i>BE</i>, <i>FE</i> = <i>CE</i>. Докажите, что центр описанной около треугольника <i>ADF</i> окружности лежит на биссектрисе угла <i>DEF</i>.
Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>
Противоположные стороны четырёхугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Найдите <i>PQ</i>, если касательные к окружности, проведённые из точек <i>P</i> и <i>Q</i>, равны <i>a</i> и <i>b</i>.
Две окружности радиусов <i>r</i> и <i>R</i> (<i>r</i> < <i>R</i>) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках <i>M</i> и <i>N</i>. В точках <i>A</i> и <i>B</i> окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые <i>AB</i> и <i>MN</i> пересекаются в точке <i>C</i>. Из точки <i>C</i> проведена касательная к третьей окружности (<i>D</i> — точка касания). Найдите <i>CD</i>.
Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона.</i>)