Олимпиадная задача по геометрии: три касающиеся окружности и точка C

Задача

Две окружности радиусов r и R (r < R) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках M и N. В точках A и B окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые AB и MN пересекаются в точке C. Из точки C проведена касательная к третьей окружности (D — точка касания). Найдите CD.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно, O₃ — центр третьей окружности, K — вторая точка пересечения прямой AC с первой окружностью, P — точка касания двух первых окружностей.

Поскольку эти окружности касаются, то точка P лежит на прямой O₁O₂. Докажем, что точка пересечения прямых MN и AB также лежит на прямой O₁O₂.

Пусть прямая MN пересекает прямую O₁O₂ в точке C'. Если Q — проекция точки O₁ на O₂N, то треугольник O₁MC' подобен треугольнику O₂QO₁ с коэффициентом

$\displaystyle {\frac{O_{1}M}{O_{2}Q}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}M}{O_{2}N- NQ}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}M}{O_{2}N- O_{1}M}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$.

Поэтому

C'O₁ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$^.O₁O₂ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$(R + r) = $\displaystyle {\frac{r(R+r)}{R-r}}$.

Пусть прямая AB пересекает прямую O₁O₂ в точке C". Поскольку точка A лежит на отрезке O₁O₃, а точка B — на O₂O₃, то

$\displaystyle \angle$O₁KA = $\displaystyle \angle$O₁AK = $\displaystyle \angle$O₃AB = $\displaystyle \angle$O₃BA = $\displaystyle \angle$O₂BF,

гдеF— вторая точка пересечения прямойABи окружности с центромO₂. ПоэтомуKO₁||BO₂. Пусть прямая, проходящая через точкуO₁параллельноAB, пересекает радиусO₂Bв точкеL. Тогда треугольникO₁KC" подобен треугольникуO₂LO₁с коэффициентом

$\displaystyle {\frac{O_{1}K}{O_{2}L}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}K}{O_{2}B- BL}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}K}{O_{2}B- O_{1}K}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$.

Поэтому

C"O₁ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$^.O₁O₂ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$(R + r) = $\displaystyle {\frac{r(R+r)}{R-r}}$.

Таким образом, C'O₁ = C"O₁. Значит, точки C' и C" совпадают. Следовательно, прямые MN и AB пересекаются на прямой O₁O₂.

Теперь найдём CD. Для этого сначала заметим, что точки A, P и B на сторонах треугольника O₁O₂O₃ таковы, что

O₁A = O₁P, O₂B = O₂P, O₃A = O₃B.

Значит, в этих точках вписанная окружность треугольникаO₁O₂O₃касается его сторон. ПосколькуCP— касательная к этой окружности,CD— касательная к окружности с центромO₃, аCAB— общая секущая этих окружностей, то

CD² = CA^.CB = CP²

Следовательно,

CD = CP = CO₁ + O₁P = $\displaystyle {\frac{r(R+r)}{R-r}}$ + r = $\displaystyle {\frac{2rR}{R - r}}$.

Ответ

${\frac{2rR}{R-r}}$.

Математическая задача по планиметрии о трёх касающихся окружностях

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления