Задание олимпиады по планиметрии: четырёхугольник и точка PQ
Задача
Противоположные стороны четырёхугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках P и Q. Найдите PQ, если касательные к окружности, проведённые из точек P и Q, равны a и b.
Решение
Пусть DA и CB пересекаются в точке Q, BA и CD — в точке P, а окружность, описанная около треугольника ABQ, пересекает отрезок PQ в точке M.
Поскольку
$\displaystyle \angle$BMP = $\displaystyle \angle$BAQ = $\displaystyle \angle$BCD = 180o - $\displaystyle \angle$BCP,
то около четырёхугольникаCBMPможно описать окружность. Тогда
QM . QP = QC . QB = QA . QD = b2, PM . PQ = PA . PB = PC . PD = a2.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
a2 + b2 = QM . QP + PM . PQ = PQ(QM + PM) = PQ2.
Ответ
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет