Задание олимпиады по планиметрии: четырёхугольник и точка PQ

Пусть DA и CB пересекаются в точке Q, BA и CD — в точке P, а окружность, описанная около треугольника ABQ, пересекает отрезок PQ в точке M.

Поскольку

$\displaystyle \angle$BMP = $\displaystyle \angle$BAQ = $\displaystyle \angle$BCD = 180^o - $\displaystyle \angle$BCP,

то около четырёхугольникаCBMPможно описать окружность. Тогда

QM ^. QP = QC ^. QB = QA ^. QD = b², PM ^. PQ = PA ^. PB = PC ^. PD = a².

Сложив почленно эти равенства, получим, что

a² + b² = QM ^. QP + PM ^. PQ = PQ(QM + PM) = PQ².