Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 3 с решениями

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.

С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.

Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше360<i>^o </i>.

Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.

В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.

В тетраэдре<i> ABCD </i>ребро<i> AB </i>перпендикулярно ребру<i> CD </i>,<i> P </i>— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки<i> O </i>до середин рёбер<i> AC </i>и<i> BD </i>равна сумме квадратов расстояний от точки<i> P </i>до середин рёбер<i> AD </i>и<i> BC </i>.

Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

Дан трёхгранный угол с вершиной<i> O </i>и точка<i> A </i>на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки<i> B </i>и<i> C </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников<i> ABC </i>.

В основании пирамиды объёма<i> V </i>лежит трапеция с основаниями<i> m </i>и<i> n </i>. Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма<i> U </i>, а в сечении получается снова трапеция с основаниями<i> m</i>1и<i> n</i>1. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_2.gif">=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_3.gif"> </i>.

Докажите, что две непересекающиеся окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке<i> M </i>, отличной от точки<i> O </i>, то их образы при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>также касаются, а при инверсии с центром<i> M </i>окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.

Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Точка<i> M </i>находится внутри диаметра<i> AB </i>окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём отрезки<i> PM </i>и<i> QM </i>образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые<i> PQ </i>проходят через одну точку.

Точка<i> M </i>— середина стороны<i> BC </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. Известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_2.gif"> AMD = </i>120<i>^o </i>. Докажите неравенство<i> AB+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_3.gif">BC+CD>AD </i>.

Точка <i>M</i> взята на стороне <i>AC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i>, а на продолжении стороны <i>BC</i> за точку <i>C</i> отмечена точка <i>N</i>, причём  <i>BM = MN</i>.

Докажите, что  <i>AM = CN</i>.

Внутри стороны <i>BC</i> правильного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>D</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i> и параллельная <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115920/problem_115920_img_2.gif">

В остроугольном неравнобедренном треугольнике<i> ABC </i>проведены высоты<i> AD </i>,<i> BE </i>и<i> CF </i>. Точки<i> X </i>,<i> Y </i>и<i> Z </i>таковы, что<i> D </i>,<i> E </i>и<i> F </i>являются серединами отрезков<i> BX </i>,<i> CY </i>и<i> AZ </i>соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников<i> ACX </i>,<i> ABY </i>и<i> BCZ </i>, являются вершинами треугольника, равного треугольнику<i> ABC </i>.

Окружность, вписанная в угол с вершиной <i>O</i>, касается его сторон в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Луч <i>OX</i> пересекает эту окружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, причём <i>OC = CD</i> = 1.  Если <i>M</i> – точка пересечения луча <i>OX</i> и отрезка <i>AB</i>, то чему равна длина отрезка <i>OM</i>?

Точка<i> D </i>, отличная от вершин<i> A </i>и<i> B </i>треугольника<i> ABC </i>, лежит на стороне<i> AB </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115917/problem_115917_img_2.gif">= <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115917/problem_115917_img_3.gif"> </i>. Докажите, что угол<i> ACB </i>— тупой.