Задача № 216093
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216092
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.
Задача № 216091
С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.
Задача № 215947
Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше360o .
Задача № 215946
Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.
Задача № 215945
Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.
Задача № 215944
В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.
Задача № 215943
В тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , P — произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки O до середин рёбер AC и BD равна сумме квадратов расстояний от точки P до середин рёбер AD и BC .
Задача № 215942
Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?
Задача № 215941
Дан трёхгранный угол с вершиной O и точка A на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки B и C . Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC .
Задача № 215940
В основании пирамиды объёма V лежит трапеция с основаниями m и n . Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма U , а в сечении получается снова трапеция с основаниями m1и n1. Докажите, что = .
Задача № 215939
Докажите, что две непересекающиеся окружности S1и S2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Задача № 215938
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
Задача № 215937
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке M , отличной от точки O , то их образы при инверсии относительно окружности с центром O также касаются, а при инверсии с центром M окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.
Задача № 215936
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.
Задача № 215935
Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Задача № 215934
Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.
Задача № 215933
Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Задача № 215923
Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.
Задача № 215922
Точка M — середина стороны BC выпуклого четырёхугольника ABCD . Известно, что AMD = 120o . Докажите неравенство AB+BC+CD>AD .
Задача № 215921
Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём BM = MN. Докажите, что AM = CN.
Задача № 215920
Внутри стороны BC правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку C и параллельная AD, пересекает прямую AB в точке E. Докажите, что
Задача № 215919
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AD , BE и CF . Точки X , Y и Z таковы, что D , E и F являются серединами отрезков BX , CY и AZ соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников ACX , ABY и BCZ , являются вершинами треугольника, равного треугольнику ABC .
Задача № 215918
Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B. Луч OX пересекает эту окружность в точках C и D, причём OC = CD = 1. Если M – точка пересечения луча OX и отрезка AB, то чему равна длина отрезка OM?
Задача № 215917
Точка D , отличная от вершин A и B треугольника ABC , лежит на стороне AB , причём = . Докажите, что угол ACB — тупой.
51–75 из 2736