Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 4 с решениями

С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного острого угла, вершина — на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри этого угла.

Внутри треугольника <i>ABC</i> с углами <!-- MATH $\angle A = 50^{\circ}$ --> $\angle$<i>A</i> = 50^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle B = 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>B</i> = 60^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle C = 70^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 70^<tt>o</tt> взята точка <i>M</i>, причём <!-- MATH $\angle AMB = 110^{\circ}$ --> $\angle$<i>AMB</i> = 110^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle BMC = 130^{\circ}$ --> $\angle$<i>BMC</i> = 130^<tt>o</tt>. Найдите <!-- MATH $\angle MBC$ --> $\angle$<i>MBC...

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

С помощью циркуля и линейки постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.

Даны прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от нее. Пусть <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ — проекции этих точек на прямую <i>l</i>. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой <i>l</i> такую точку <i>M</i>, чтобы угол <i>AMA</i>₁ был вдвое меньше угла <i>BMB</i>₁.

Впишите в данный остроугольный треугольник $ABC$ треугольник наименьшего периметра.

Из вершины <i>C</i> прямого угла прямоугольного треугольника <i>ABC</i> проведена высота <i>CD</i>, и в треугольники <i>ACD</i> и <i>BCD</i> вписаны окружности с центрами <i>P</i> и <i>Q</i>. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а высоту <i>CD</i> — в точке <i>K</i>. Докажите, что:

а) треугольники <i>CMN</i> и <i>CBA</i> подобны;

б) точки <i>C</i>, <i>M</i>, <i>N</i>, <i>P</i> и <i>Q</i> лежат на окружности с центром <i>K</i>, радиус которой равен радиусу впис...

Докажите, что если <i>ABCD</i> — вписанный четырёхугольник, то сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i> равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники <i>BCD</i> и <i>BDA</i>.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность; <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O</i>₃, <i>O</i>₄ — центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i>, <i>BCD</i>, <i>CDA</i> и <i>DAB</i>. Докажите, что <!-- MATH $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ --> <i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃<i>O</i>₄ -- прямоугольник.

В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис.1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Из вершины <i>B</i> параллелограмма <i>ABCD</i> проведены его высоты <i>BK</i> и <i>BH</i>. Известны отрезки <i>KH</i> = <i>a</i> и <i>BD</i> = <i>b</i>. Найдите расстояние от точки <i>B</i> до точки пересечения высот треугольника <i>BKH</i>.

Известно, что <i>AE</i> и <i>CD</i> — биссектрисы треугольника <i>ABC</i>, <!-- MATH $\angle CDE = 30^{\circ}$ --> $\angle$<i>CDE</i> = 30^<tt>o</tt>. Докажите, что один из углов треугольника <i>ABC</i> равен <!-- MATH $60^{\circ}$ --> 60^<tt>o</tt> или <!-- MATH $120^{\circ}$ --> 120^<tt>o</tt>.

Найдите углы остроугольного треугольника <i>ABC</i>, если известно, что его биссектриса <i>AD</i> равна стороне <i>AC</i> и перпендикулярна отрезку <i>OH</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности, <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, <i>M</i> – произвольная точка на дуге <i>A</i>₁<i>A_n</i> окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от <i>M</i> до вершин с чётными номерами.

Даны две точки<i> A </i>и<i> B </i>и окружность<i> S </i>. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через точки<i> A </i>и<i> B </i>и касающуюся окружности<i> S </i>.

Продолжение биссектрисы <i>AD</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекает описанную окружность в точке <i>E</i>. Из точки <i>D</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> опущены перпендикуляры <i>DP</i> и <i>DQ</i>. Докажите, что <!-- MATH $S_{\Delta ABC} = S_{APEQ}$ --> <i>S</i>_{$\scriptstyle \Delta$ABC} = <i>S</i>_APEQ.

На плоскости даны <i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести <i>n</i> отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.

Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины пересекаются в одной точке.

В выпуклом четырёхугольнике <i>KLMN</i> отрезок <i>MS</i>, соединяющий вершину <i>M</i> с точкой <i>S</i>, расположенной на стороне <i>KN</i>, пересекает диагональ <i>LN</i> в точке <i>O</i>. Известно, что <!-- MATH $KL:KM = 7:9$ --> <i>KL</i> : <i>KM</i> = 7 : 9, <!-- MATH $SO:ON = 2:3$ --> <i>SO</i> : <i>ON</i> = 2 : 3 и <!-- MATH $\angle KLN + \angle KMN = 180^{\circ}$ --> $\angle$<i>KLN</i> + $\angle$<i>KMN</i> = 180^<tt>o</tt>. Найдите отношение стороны <i>MN</i> к отрезку <i>MS</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> отрезок <i>CM</i>, соединяющий вершину <i>C</i> с точкой <i>M</i>, расположенной на стороне <i>AD</i>, пересекает диагональ <i>BD</i> в точке <i>K</i>. Известно, что <!-- MATH $CK:KM = 2:1$ --> <i>CK</i> : <i>KM</i> = 2 : 1, <!-- MATH $CD:DK = 5:3$ --> <i>CD</i> : <i>DK</i> = 5 : 3 и <!-- MATH $\angle ABD + \angle ACD = 180^{\circ}$ --> $\angle$<i>ABD</i> + $\angle$<i>ACD</i> = 180^<tt>o</tt>. Найдите отношение стороны <i>AB</i> к диагонали <i>AC</i>.

Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как <i>m</i> : <i>n</i>.

В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2$\sqrt{2}$, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.

Пусть <i>R</i> — радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, <i>r</i>_a — радиус вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен <!-- MATH $R^{2} + 2Rr_{a}$ --> <i>R</i>² + 2<i>Rr</i>_a.