Олимпиадная задача о равенстве сумм расстояний в правильном многоуголь
Задача
Пусть A1A2...An – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M – произвольная точка на дуге A1An окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.
Решение
Рассмотрим сначала случай n = 5. Обозначим A1A2 = a, A1A3 = A2A4 = A3A5 = A5A2 = A1A4 = b, MAi = di.
Применив теорему Птолемея к пяти вписанным четырёхугольникам MA1A2A3, MA2A3A4, MA3A4A5, A4A5MA1 и A5MA1A2, получим следующие равенства:
ad1 + ad3 = bd2,
bd3 = ad2 + ad4,
ad3 + ad5 = bd4,
ad1 + bd5 = ad4,
bd1 + ad5 = ad2.
Сложив их почленно, получим, что (2a + b)(d1 + d2 + d3) = (2a + b)(d2 + d4).
Следовательно, d1 + d3 + d5 = d2 + d4.
Доказательство для любого правильного n-угольника с нечётным числом сторон практически аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь