Задача по олимпиадной математике: биссектриса и площадь в треугольнике
Нет ответа
Задача
Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что
S$\scriptstyle \Delta$ABC = SAPEQ.
Решение
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AD. Пусть F — точка пересечения этой окружности со стороной BC (если AB$\ne$AC, то F не совпадает с D). Тогда
$\displaystyle \angle$BCE = $\displaystyle \angle$BAE = $\displaystyle \angle$DAQ = $\displaystyle \angle$QFD = $\displaystyle \angle$QFC.
Следовательно,QF||CE. Аналогично докажем, чтоFP||BE.
Пусть M и N — точки пересечения прямых EP и EQ со стороной
BC. Тогда в трапеции BEFP известно, что
S$\scriptstyle \Delta$BMP = S$\scriptstyle \Delta$FME.
Аналогично
S$\scriptstyle \Delta$QNC = S$\scriptstyle \Delta$FNE.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$ABC = SAPMNQ + S$\scriptstyle \Delta$PBM + S$\scriptstyle \Delta$QNC =
= SAPMNQ + S$\scriptstyle \Delta$FME + S$\scriptstyle \Delta$FNE = SAPEQ.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет