Олимпиадная задача: радиусы вписанных окружностей во вписанном четырёх
Нет ответа
Задача
Докажите, что если ABCD — вписанный четырёхугольник, то сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BCD и BDA.
Решение
Пусть O1, O2, O3, O4 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB; r1, r2, r3, r4 -- их радиусы. Докажем сначала, что четырёхугольник O1O2O3O4 -- прямоугольник (рис.1).
Действительно, поскольку AO1 и BO1 — биссектрисы треугольника ABC, то
$\displaystyle \angle$AO1B = 90o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$ACB.
Аналогично
$\displaystyle \angle$AO4B = 90o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$ADB,
а т.к.$\angle$ADB=$\angle$ACB, то$\angle$AO4B=$\angle$AO1B. Поэтому
точкиA,O4,O1иBлежат на одной окружности.
Пусть K — точка на продолжении отрезка BO1 за точку O1. Тогда
$\displaystyle \angle$O4O1K = 180o - $\displaystyle \angle$O4O1B = $\displaystyle \angle$O4AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BAD
(т.к. лучAO4— биссектриса углаBAD). Аналогично
$\displaystyle \angle$KO1O2 = 180o - $\displaystyle \angle$O2O1B = $\displaystyle \angle$O2CB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BCD,
а т.к.$\angle$BAD+$\angle$BCD= 180o(противоположные углы вписанного
четырёхугольника), то
$\displaystyle \angle$O4O1O2 = $\displaystyle \angle$O4O1K + $\displaystyle \angle$O2O1K = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BAD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BCD = 90o.
Аналогично для остальных углов четырёхугольникаO1O2O3O4.
Следовательно, четырёхугольникO1O2O3O4— прямоугольник.
Пусть M и L — точки касания вписанных окружностей
треугольников ABD и BCD с диагональю BD (рис.2). Тогда
DL = $\displaystyle {\frac{AD + BD + AB}{2}}$ - AB = $\displaystyle {\frac{AD + BD - AB}{2}}$,
DM = $\displaystyle {\frac{BD + DC + BC}{2}}$ - BC = $\displaystyle {\frac{BD + DC - BC}{2}}$,
ML = | DL - DM| = $\displaystyle {\frac{\vert AD + BC - AB - CD\vert}{2}}$.
Пусть E — проекция точки O2 на прямую O4M. Тогда в
прямоугольном треугольнике
O2EO4 катет
EO4 = EM + MO4 = r2 + r4.
Пусть P и Q — точки касания вписанных окружностей треугольников ABC и ADC с диагональю AC (рис.3), а F — проекция точки O3 на прямую O1P. Рассуждая аналогично, получим, что
PQ = $\displaystyle {\frac{\vert AD + BC - AB - CD\vert}{2}}$ = ML.
Поэтому прямоугольные треугольникиO1FO3иO2EO4равны (по катету
и гипотенузе). Следовательно,
r1 + r3 = r2 + r4.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет