Все касательные через одну точку — олимпиадная задача Скопца З. А.

Пусть окружности S₁ и S₂ радиусов r₁ и r₂, вписанные в сегмент окружности S радиуса R, касаются между собой внешним образом в точке P, а также касаются хорды AB окружности S и дуги AB этой окружности в точках C и D соответственно. Докажем, что общая касательная к окружностям S₁ и S₂, проведённая через точку P, проходит через середину M дуги AB, не содержащей точек C и D.

При гомотетии с центром в точке C и с коэффициентом ${\frac{R}{r_{1}}}$ окружность S₁ переходит в окружность S, прямая AB — в прямую l, параллельную AB и касающуюся окружности S в точке M — середине дуги AB, не содержащей точек C и D. Следовательно, точка E касания окружности S₁ с прямой AB лежит на прямой CM. Аналогично докажем, что точка F касания окружности S₂ с прямой AB лежит на прямой DM.

Пусть MN — диаметр окружности S, K — его точка пересечения с хордой AB. Прямоугольные треугольники MKE и MCN подобны. Поэтому

АналогичноMF ^. MD=MK ^. MN. Следовательно,ME ^. MC=MF ^. MD. Докажем теперь, что прямая MP — общая касательная к окружностям S₁ и S₂. Предположим, что эта прямая вторично пересекает окружность S₁ в точке P₁, а окружность S₂ — в точке P₂. Тогда Поэтому точкиP₁иP₂совпадают, а т.к.P— единственная общая точка окружностейS₁иS₂, то точкиP₁иP₂совпадают с точкойP. Следовательно,MP— общая касательная к окружностямS₁иS₂.

Ответ задачи отсутствует