Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 3-4 с решениями

На окружности, описанной около прямоугольника<i> ABCD </i>, выбрана точка<i> K </i>. Оказалось, что прямая<i> CK </i>пересекает отрезок<i> AD </i>в точке<i> M </i>такой, что<i> AM:MD=</i>2. Пусть<i> O </i>— центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника<i> OKD </i>лежит на окружности, описанной около треугольника<i> COD </i>.

Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки <i>B</i> и <i>C</i>, пересекают касательную к ω, проведённую через точку <i>A</i>, в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Прямая, проведённая через <i>K</i> параллельно <i>AB</i>, пересекается с прямой, проведённой через <i>L</i> параллельно <i>AC</i>, в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>BP = CP</i>.

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.

С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.

Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).

Докажите, что сумма угловых величин всех двугранных углов тетраэдра больше360<i>^o </i>.

Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.

В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.

В тетраэдре<i> ABCD </i>ребро<i> AB </i>перпендикулярно ребру<i> CD </i>,<i> P </i>— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки<i> O </i>до середин рёбер<i> AC </i>и<i> BD </i>равна сумме квадратов расстояний от точки<i> P </i>до середин рёбер<i> AD </i>и<i> BC </i>.

Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

Дан трёхгранный угол с вершиной<i> O </i>и точка<i> A </i>на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят точки<i> B </i>и<i> C </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников<i> ABC </i>.

В основании пирамиды объёма<i> V </i>лежит трапеция с основаниями<i> m </i>и<i> n </i>. Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма<i> U </i>, а в сечении получается снова трапеция с основаниями<i> m</i>1и<i> n</i>1. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_2.gif">=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115940/problem_115940_img_3.gif"> </i>.

Докажите, что две непересекающиеся окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке<i> M </i>, отличной от точки<i> O </i>, то их образы при инверсии относительно окружности с центром<i> O </i>также касаются, а при инверсии с центром<i> M </i>окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.

С помощью циркуля и линейки постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.

Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.

Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Точка<i> M </i>находится внутри диаметра<i> AB </i>окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём отрезки<i> PM </i>и<i> QM </i>образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые<i> PQ </i>проходят через одну точку.

Точка<i> M </i>— середина стороны<i> BC </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. Известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_2.gif"> AMD = </i>120<i>^o </i>. Докажите неравенство<i> AB+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115922/problem_115922_img_3.gif">BC+CD>AD </i>.