Задача № 155659
Пусть A1, B1 и C1 — основания высот AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, BA1C1 и CA1B1 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» - сложность 4-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 155656
На плоскости даны прямые l1, l2, ..., l2n, пересекающиеся в одной точке. Блоха сидит в некоторой точке M плоскости и прыгает через прямую l1, попадая в точку M1, причём M и M1 симметричны относительно прямой l1, далее — через прямую l2 и т.д. Докажите, что если через 2n прыжков блоха оказалась в точке М, то, начиная движение из любой точки плоскости, через 2n прыжков блоха окажется на прежнем месте.
Задача № 155650
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.
Задача № 155647
Даны прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Постройте путь луча из A в B, который отражается от прямой l по следующему закону: угол падения на меньше угла отражения.
Задача № 155646
Дана прямая l и точки A и B по разные стороны от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку X, для которой AX - BX = a, где a — данная величина.
Задача № 155645
Дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l точку X, для которой AX + BX = a, где a — данная величина.
Задача № 155644
С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного острого угла, вершина — на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри этого угла.
Задача № 155607
Внутри треугольника ABC с углами A = 50o, B = 60o, C = 70o взята точка M, причём AMB = 110o, BMC = 130o. Найдите MBC.
Задача № 155600
С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.
Задача № 155595
Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.
Задача № 155594
С помощью циркуля и линейки постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.
Задача № 155593
Даны прямая l и точки A и B по одну сторону от нее. Пусть A1 и B1 — проекции этих точек на прямую l. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку M, чтобы угол AMA1 был вдвое меньше угла BMB1.
Задача № 155563
Впишите в данный остроугольный треугольник треугольник наименьшего периметра.
Задача № 155551
Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CD, и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами P и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты AC и BC в точках M и N, а высоту CD — в точке K. Докажите, что: а) треугольники CMN и CBA подобны; б) точки C, M, N, P и Q лежат на окружности с центром K, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC.
Задача № 155537
Докажите, что если ABCD — вписанный четырёхугольник, то сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BCD и BDA.
Задача № 155536
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; O1, O2, O3, O4 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что O1O2O3O4 -- прямоугольник.
Задача № 155530
В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис.1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Задача № 155523
Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известны отрезки KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.
Задача № 155521
Известно, что AE и CD — биссектрисы треугольника ABC, CDE = 30o. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 60o или 120o.
Задача № 155510
Найдите углы остроугольного треугольника ABC, если известно, что его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.
Задача № 155464
Пусть A1A2...An – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M – произвольная точка на дуге A1An окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.
Задача № 155455
Даны две точки A и B и окружность S . С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S .
Задача № 155400
Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что SABC = SAPEQ.
Задача № 155228
На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.
Задача № 155186
Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.
76–100 из 146