Задача № 216675
В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.
Волчкевич М. А.
40 задачЗадача № 216424
В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO = BP. Найдите отношение OM : PC.
Задача № 216212
Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что PA = PD.
Задача № 216206
Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?
Задача № 216199
Дан произвольный треугольник ABC. Постройте прямую, проходящую через вершину B и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.
Задача № 216198
Hа сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны точки C', A' и B' соответственно так, что угол A'C'B' — прямой. Докажите, что отрезок A'B' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника ABC.
Задача № 216193
B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу. Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.
Задача № 216175
Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.
Задача № 216138
Дан четырёхугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA' = CC' и BB' = DD'. Bерно ли, что ABCD – параллелограмм?
Задача № 216074
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что SKMC + SKAC = SABC. Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.
Задача № 216069
Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. H – точка пересечения высот. На сторонах AB и BC выбраны точки M и K и соответственно так, что ∠KMH = 90°. Докажите, что из отрезков AK, CM и MK можно сложить прямоугольный треугольник.
Задача № 215903
Даны две пересекающиеся окружности с центрами O1, O2. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O1O2 на наибольшее расстояние.
Задача № 215778
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB' и CC'. Пусть P – точка пересечения A'B' и CC', а Q – точка пересечения A'C' и BB'. Докажите, что ∠PAC = ∠QAB.
Задача № 215505
Дана трапеция ABCD с основаниями AD = a и BC = b. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.
Задача № 210789
Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A' , B' , C' – проекции P на прямые BC , CA , AB . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C' , лежит внутри треугольника ABC .
Задача № 209505
В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M – середина стороны AD. Известно, что ∠BMC = 90°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
Задача № 209503
В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, касающаяся сторон AC, BC и AB в точках M, K и N соответственно. Через точку K провели прямую, перпендикулярную отрезку MN. Она пересекла катет AC в точке X. Докажите, что CK = AX.
Задача № 208165
Точка O лежит внутри ромба ABCD . Угол DAB равен110o . Углы AOD и BOC равны80o и100o соответственно. Чему может быть равен угол AOB ?
Задача № 207825
В ромбе ABCD величина угла B равна 40°, E – середина BC, F – основание перпендикуляра, опущенного из A на DE. Найдите величину угла DFC.
Задача № 198337
В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE. Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.
Задача № 167391
На стороне треугольника отметили точку так, что . Из точек и на сторону опустили перпендикуляры и (см. рис.). вдвое больше . Угол равен градусам. Найдите угол .
Задача № 167303
На боковых сторонах и равнобедренного остроугольного треугольника выбраны точки и . Отрезки и пересекаются в точке . Оказалось, что . Докажите, что середины всевозможных отрезков лежат на одной прямой.
Задача № 167050
В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую. Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
Задача № 166993
В четырёхугольнике известно, что , и . Чему могут быть равны углы и ?
Задача № 166970
Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.
Задача № 166797
На клетчатой бумаге нарисовали треугольник, один из углов которого равен (см.рис.). Найдите значения остальных углов.
Задача № 166666
В прямоугольном треугольнике () вписанная окружность касается катета в точке . Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой в два раза больше, чем расстояние от вершины до этой прямой.
Задача № 166546
Будем называтьфлажкомпятиугольник, вершины которого — вершины некоторого квадрата и его центр. Разрежьте фигуру ниже справа на флажки (не обязательно одинаковые).
Задача № 166527
Три стороны четырёхугольника равны, а углы четырёхугольника, образованные этими сторонами, равны 90° и 150°. Найдите два других угла этого четырёхугольника.
Задача № 166517
Максим сложил на столе из 9 квадратов и 19 равносторонних треугольников (не накладывая их друг на друга) многоугольник. Мог ли периметр этого многоугольника оказаться равным 15 см, если стороны всех квадратов и треугольников равны 1 см?
Задача № 166508
Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на четыре одинаковые части.
Задача № 165855
На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.
Задача № 165793
В четырёхугольнике ABCD AB = CD, M и K – середины BC и AD. Докажите, что угол между MK и AC равен полусумме углов BAC и DCA.
Задача № 165643
Окружность с центром O проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках M и K. Докажите, что расстояние от точки O до прямой MK равно половине гипотенузы.
Задача № 165606
Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника. Докажите, что данный треугольник равносторонний.
Задача № 165036
В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O. На боковой стороне CD выбрана точка M, а на основаниях BC и AD – точки P и Q так, что отрезки MP и MQ параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая PQ проходит через точку O.
Задача № 164916
В выпуклом четырёхугольнике ABCD O – точка пересечения диагоналей, а M – середина стороны BC. Прямые MO и AD пересекаются в точке E. Докажите, что AE : ED = SABO : SCDO.
Задача № 155521
Известно, что AE и CD — биссектрисы треугольника ABC, CDE = 30o. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 60o или 120o.
Задача № 137001
Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.
Задача № 136995
В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е — середина CD, F — середина АD, K — точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.