Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 7-9 класса - сложность 2-5 с решениями
Три окружности с центрами <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i>, касающиеся друг друга и прямой <i>l</i>, расположены так, как показано на рисунке. Пусть <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> – радиусы окружностей с центрами <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что <img align="middle" src="/storage/problem-media/116346/problem_116346_img_2.gif">.
Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.
Треугольник <i>BHC</i>, где <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>, достроен до параллелограмма <i>BHCD</i>. Докажите, что ∠<i>BAD</i> = ∠<i>CAH</i>.
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> – основания высот треугольника <i>ABC</i>. Известно, что <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> = 13, <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> = 14, <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> = 15. Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>.
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём <i>BM</i> : <i>MC</i> = 3 : 2. Отрезки <i>AM</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKD</i>.
На стороне <i>BC</i> и на продолжении стороны <i>AB</i> за вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно, причём <i>BM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5 и <i>BK</i> : <i>AB</i> = 1 : 5. Прямая <i>KM</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Найдите отношение <i>CN</i> : <i>AN</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2, <i>AM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5. Прямые <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения <i>OM</i> : <i>OB</i> и <i>ON </i>: <i>OC</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 5, <i>BN</i> : <i>NC</i> = 1 : 4. Прямые <i>CM</i> и <i>AN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения <i>OA</i> : <i>ON</i> и <i>OM</i> : <i>OC</i>.
На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём <i>AM</i> : <i>MD</i> = 2 : 7, <i>CN</i> : <i>ND</i> = 3 : 5. Прямые <i>CM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения <i>ON</i> : <i>OB</i> и <i>OC</i> : <i>OM</i>.
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB < BC</i>) проведены высоты <i>AM</i> и <i>CN</i>. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Известно, что ∠<i>ABC</i> = β, а площадь четырёхугольника <i>NOMB</i> равна <i>S</i>. Найдите сторону <i>AC</i>.
Около треугольника <i>ABC</i> описана окружность. Диаметр <i>AD</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>E</i>, при этом <i>AC = EC</i> и <i>AE</i> : <i>DE = m</i>.
Найдите отношение <i>BE</i> : <i>CE</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> расположены точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём <i>AN</i> : <i>NB</i> = 3 : 2, <i>BM</i> : <i>MC</i> = 2 : 5. Прямые <i>AM</i> и <i>DN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите отношения <i>OM</i> : <i>OA</i> и <i>ON</i> : <i>OD</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на диагоналях <i>BD</i> и <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>BM</i> : <i>MD = CN</i> : <i>NA</i> = 1 : 8.
Найдите <i>MN</i>, если известно, что основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции равны <i>a</i> и <i>b</i> соответственно.
Точки <i>P</i> и <i>Q</i> расположены соответственно на диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>CP</i> : <i>AP = BQ</i> : <i>DQ</i> = 5 : 2.
Найдите <i>PQ</i>, если известно, что основания <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции равны <i>a</i> и <i>b</i> соответственно.
На диагоналях <i>AC</i> и <i>BD</i> трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC = a</i> и <i>AD = b</i> расположены точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём
<i>CK</i> : <i>KA = BL</i> : <i>LD</i> = 7 : 4. Найдите <i>KL</i>.
На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём <i>BM</i> : <i>AM = CN</i> : <i>ND</i> = 3 : 5.
Найдите <i>MN</i>, если <i>BC = a</i> и <i>AD = b</i>.
В ромб <i>ABCD</i> вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке <i>P</i>, пересекает стороны <i>AB, BC</i> и продолжение стороны <i>AD</i> соответственно в точках <i>N, Q</i> и <i>M</i>, причём <i>MN</i> : <i>NP</i> : <i>PQ</i> = 7 : 1 : 2. Найдите углы ромба.
В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).
В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).
В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> B = </i>50<i><sup>o</sup> </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> C = </i>70<i><sup>o</sup> </i>. Найдите углы треугольника<i> OHC </i>, где<i> H </i>— точка пересечения высот,<i> O </i>— центр окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.
Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали – большему. Найдите углы трапеции.
Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 4 с центром<i> O </i>, а точка<i> M </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116313/problem_116313_img_2.gif"> AMC = </i>42<i><sup>o</sup> </i>, а длины отрезков<i> AM </i>,<i> BM </i>и<i> CM </i>образуют убывающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AMO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> AOM </i>или<i> ACM </i>?
Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 2 с центром<i> O </i>, а точка<i> K </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116312/problem_116312_img_2.gif"> AKC = </i>46<i><sup>o</sup> </i>, а длины отрезков<i> AK </i>,<i> BK </i>и<i> CK </i>образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AKO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> ACK </i>или<i> AOK </i>?