Задача № 130898
n – натуральное число. Докажите, что
Олимпиадные задачи по математике — страница 911
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 130897
n – натуральное число. Докажите, что
Задача № 130896
n – натуральное число. Докажите, что
Задача № 130895
Докажите, что при n ≥ 3 выполняется неравенство
Задача № 130894
x, y ≥ 0. Докажите, что .
Задача № 130893
Докажите, что .
Задача № 130892
Докажите, что при любых x, y, z выполнено неравенство: x4 + y4 + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).
Задача № 130891
Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.
Задача № 130889
a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².
Задача № 130888
x, y > 0. Докажите, что
Задача № 130887
Докажите, что при любых x и y.
Задача № 130885
k, l, m – натуральные числа. Докажите, что 2k+l + 2k+m + 2l+m ≤ 2k+l+m+1 + 1.
Задача № 130884
Докажите неравенство ¼ a² + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc при любых a, b, c.
Задача № 130883
a + b = 1. Каково максимальное значение величины ab?
Задача № 130882
Решите уравнение a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + 2/5 = 0.
Задача № 130881
Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство
Задача № 130880
Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?
Задача № 130879
Докажите, что при x ≥ 0 имеет место неравенство
Задача № 130878
Сумма трёх положительных чисел равна 6. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 12.
Задача № 130877
Докажите, что при a, b, c ≥ 0 имеет место неравенство (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c).
Задача № 130876
Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство
Задача № 130875
Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство ab/c + ac/b + bc/a ≥ a + b + c.
Задача № 130874
Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство
Задача № 130873
Докажите, что при x ≥ 0 имеет место неравенство 3x³ – 6x² + 4 ≥ 0.
Задача № 130872
a, b, c – положительные числа. Докажите, что
0–0 из 23247