Задача № 216452
Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?
Олимпиадные задачи по математике — страница 22
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 216451
Какие значения может принимать выражение (x – y)(y – z)(z – x), если известно, что ?
Задача № 216450
Делится ли число 2110 – 1 на 2200?
Задача № 216449
Окружность проходит через вершины В и D параллелограмма АВСD и пересекает его стороны АВ, ВС, СD и DA в точках M, N, P и K соответственно. Докажите, что MK || NP.
Задача № 216448
Найдите все натуральные решения уравнения 2n – 1/n5 = 3 – 2/n.
Задача № 216447
В клетках квадратной таблицы 5×5 расставлены числа 1 и –1. Известно, что строк с положительной суммой больше, чем с отрицательной. Какое наибольшее количество столбцов этой таблицы может оказаться с отрицательной суммой?
Задача № 216446
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Задача № 216445
Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня?
Задача № 216444
В шахматном турнире было 12 участников (каждый сыграл с каждым по одному разу). По итогам турнира оказалось, что есть 9 участников, каждый из которых набрал не более 4 очков. Известно, что Петя набрал ровно 9 очков. Как он сыграл с каждым из двух остальных шахматистов? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков.)
Задача № 216443
В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.
Задача № 216442
В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?
Задача № 216441
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?
Задача № 216440
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон ВС, АС и АВ в точках A', B' и C' соответственно. Точка K – проекция точки C' на прямую A'B'. Докажите, что KC' – биссектриса угла AKB.
Задача № 216439
Найдите все неотрицательные решения системы уравнений: x³ = 2y² – z, y³ = 2z² – x, z³ = 2x² – y.
Задача № 216438
Найдите все пары натуральных чисел (а, b), для которых выполняется равенство НОК(а, b) – НОД(а, b) = ab/5.
Задача № 216437
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1 и В1 соответственно так, что ВС1 = С1А1 = А1В1 = В1С. Докажите, что точка пересечения высот треугольника С1А1В1 лежит на биссектрисе угла А.
Задача № 216436
Найдите наибольшее значение выражения x²y – y²x, если 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1.
Задача № 216435
На шахматной доске расставили n белых и n чёрных ладей так, чтобы ладьи разного цвета не били друг друга. Найдите наибольшее возможное значение n.
Задача № 216434
Внутри параллелограмма ABCD выбрана произвольная точка Р и проведены отрезки РА, РВ, РС и PD. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Задача № 216433
Функция f(x) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что f(1) + f(2) = 10 и при любых а и b. Найдите f(22011).
Задача № 216432
В клетках квадратной таблицы 10×10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр произвольным образом составлено десятизначное число. Может ли оказаться так, что из двадцати получившихся чисел ровно одно не делится на 3?
Задача № 216431
Верно ли, что в пространстве два угла с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180°?
Задача № 216430
Решите неравенство:
Задача № 216429
На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?
Задача № 216428
На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?
0–0 из 23247