Олимпиадная задача по принципу Дирихле: максимальное количество ладей на доске

  Докажем, что при  n > 16  осуществить указанную расстановку невозможно. Заметим, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали могут располагаться ладьи только одного цвета (либо она может оказаться свободной от ладей). Условимся обозначать горизонталь (вертикаль) тем же цветом, что и цвет ладей, стоящих на ней.

  Так как ладей больше 16, то белых горизонталей не меньше трёх.

  Если белых горизонталей ровно три, то в одной из них – не менее шести ладей, то есть белых вертикалей не менее шести, а чёрных – не больше двух. Это, как показано выше, невозможно.

  Итак, белых горизонталей – не меньше четырёх, значит, черных – не больше четырёх. То же верно и для чёрных вертикалей. Следовательно, чёрных ладей не больше 16. Противоречие.

  Пример возможной расстановки при  n = 16  см. на рисунке.