Олимпиадная задача по планиметрии для 9–11 классов. Докажите свойство высот треугольника

  Так как треугольники ВС₁А₁ и А₁В₁С – равнобедренные, то  ∠С₁А₁В = ∠В,  ∠В₁А₁С = ∠С  (см. рис.). Тогда  ∠С₁А₁В₁ = 180° – (∠ В + ∠ С) = ∠ A.

  Пусть высоты треугольникаС₁А₁В₁пересекаются в точкеН₁. Этот треугольник – также равнобедренный, поэтому  H₁В₁=H₁С₁.  Кроме того, ∠В₁Н₁С₁= 180° – ∠С₁А₁В₁= 180° – ∠A,  поэтому четырёхугольникАВ₁H₁С₁– вписанный. УглыВ₁АH₁иС₁АH₁опираются на равные хорды, значит, они равны.