Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» - сложность 2 с решениями

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)перпендикулярно ненулевому вектору<i> <img src="/storage/problem-media/108866/problem_108866_img_2.gif"> = </i>(<i>a;b;c</i>).

Точка <i>M</i> лежит на прямой <!-- MATH $3x - 4y + 34 = 0$ --> 3<i>x</i> - 4<i>y</i> + 34 = 0, а точка <i>N</i> — на окружности <!-- MATH $x^{2} + y^{2} - 8x + 2y - 8 = 0$ --> <i>x</i>² + <i>y</i>² - 8<i>x</i> + 2<i>y</i> - 8 = 0. Найдите наименьшее расстояние между точками <i>M</i> и <i>N</i>.

Составьте уравнение окружности с центром в точке <i>M</i>(3;2), касающейся прямой <!-- MATH $y = 2x + 6$ --> <i>y</i> = 2<i>x</i> + 6.

Найдите расстояние между параллельными прямыми <!-- MATH $y = -3x + 5$ --> <i>y</i> = - 3<i>x</i> + 5 и <!-- MATH $y = -3x - 4$ --> <i>y</i> = - 3<i>x</i> - 4.

Даны точки <i>A</i>, <i>B</i> и положительное число <i>d</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, для которых <!-- MATH $AM^{2} + BM^{2} = d$ --> <i>AM</i>² + <i>BM</i>² = <i>d</i>.

Даны точки <i>A</i>(5; - 1), <i>B</i>(4; - 8), <i>C</i>(- 4; - 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.

Даны точки <i>A</i>(6;1), <i>B</i>(- 5; - 4), <i>C</i>(- 2;5). Составьте уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника <i>ABC</i>, проведённая из вершины <i>A</i>.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>M</i>(- 1;4) перпендикулярно прямой <!-- MATH $x - 2y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - 2<i>y</i> + 4 = 0.

Даны точки <i>A</i>(- 2;3), <i>B</i>(2;6), <i>C</i>(6; - 1) и <i>D</i>(- 3; - 4). Докажите, что диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны.

Докажите, что прямые, заданные уравнениями <!-- MATH $y = k_{1}x + l_{1}$ --> <i>y</i> = <i>k</i>₁<i>x</i> + <i>l</i>₁ и <!-- MATH $y = k_{2}x + l_{2}$ --> <i>y</i> = <i>k</i>₂<i>x</i> + <i>l</i>₂ и не параллельные координатным осям, перпендикулярны тогда и только тогда, когда <!-- MATH $k_{1}k_{2}= -1$ --> <i>k</i>₁<i>k</i>₂ = - 1.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>A</i>(0;7) и касающейся окружности <!-- MATH $(x -15)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 15)² + (<i>y</i> - 2)² = 25.

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки <i>A</i>(- 2;1), <i>B</i>(9;3) и <i>C</i>(1;7).

Даны точки <i>A</i>(- 1;3), <i>B</i>(1; - 2), <i>C</i>(6;0) и <i>D</i>(4;5). Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> — квадрат.

Даны точки <i>A</i>(- 6; - 1), <i>B</i>(1;2) и <i>C</i>(- 3; - 2). Найдите координаты вершины <i>M</i> параллелограмма <i>ABMC</i>.

Даны точки <i>A</i>(5;5), <i>B</i>(8; - 3) и <i>C</i>(- 4;1). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника.

Даны точки  <i>A</i>(<i>x</i>₁, <i>y</i>₁),  <i>B</i>(<i>x</i>₂, <i>y</i>₂)  и неотрицательное число λ. Найдите координаты точки <i>M</i> луча <i>AB</i>, для которой  <i>AM</i> : <i>AB</i> = λ.

Даны точки  <i>A</i>(-6, 1)  и  <i>B</i>(4, 6).  Найдите координаты точки <i>C</i>, делящей отрезок <i>AB</i> в отношении  2 : 3,  считая от точки <i>A</i>.

Найдите координаты точек пересечения окружностей <!-- MATH \begin{displaymath} (x - 2)^{2} + (y - 10)^{2} = 50~ \mbox{и } x^{2} + y^{2} + 2(x - y) - 18 = 0. \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> (<i>x</i> - 2)² + (<i>y</i> - 10)² = 50 и <i>x</i>² + <i>y</i>² + 2(<i>x</i> - <i>y</i>) - 18 = 0. </div>

Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку <i>A</i>(2;1).

Докажите, что прямая <!-- MATH $3x - 4y + 25 = 0$ --> 3<i>x</i> - 4<i>y</i> + 25 = 0 касается окружности <!-- MATH $x^{2} + y^{2} = 25$ --> <i>x</i>² + <i>y</i>² = 25 и найдите координаты точки касания.

Найдите длину хорды, которую на прямой <i>y</i> = 3<i>x</i> высекает окружность <!-- MATH $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> + 1)² + (<i>y</i> - 2)² = 25.

Докажите, что прямые  <i>y = k</i>₁<i>x + l</i>₁  и  <i>y = k</i>₂<i>x + l</i>₂  параллельны тогда и только тогда, когда   <i>k</i>₁ = <i>k</i>₂  и  <i>l</i>₁ ≠ <i>l</i>₂.

Докажите, что уравнение прямой, проходящей через точки <!-- MATH $M_{0}(x_{0};y_{0})$ --> <i>M</i>₀(<i>x</i>₀;<i>y</i>₀) и <!-- MATH $M_{1}(x_{1};y_{1})$ --> <i>M</i>₁(<i>x</i>₁;<i>y</i>₁) (<!-- MATH $x_{1}\ne x_{0}$ --> <i>x</i>₁$\ne$<i>x</i>₀, <!-- MATH $y_{1}\ne y_{0}$ --> <i>y</i>₁$\ne$<i>y</i>₀), имеет вид <!-- MATH \begin{displaymath} \frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}} = \frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}. \end{displ...

Докажите, что уравнение прямой с угловым коэффициентом <i>k</i>, проходящей через точку <!-- MATH $M_{0}(x_{0};y_{0})$ --> <i>M</i>₀(<i>x</i>₀;<i>y</i>₀), имеет вид <!-- MATH $y-y_{0} = k(x-x_{0})$ --> <i>y</i> - <i>y</i>₀ = <i>k</i>(<i>x</i> - <i>x</i>₀).