Олимпиадная задача: доказательство, что четырехугольник ABCD — квадрат (планиметрия, 8-9 класс)
Нет ответа
Задача
Даны точки A(- 1;3), B(1; - 2), C(6;0) и D(4;5). Докажите, что четырёхугольник ABCD — квадрат.
Решение
Поскольку
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-1);-2-3)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2;-5)}$, $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(6-4);0-5)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2;-5)}$,
тоAB=CDиAB$\Vert$CD. Значит, данный четырёхугольник — параллелограмм,
а т.к.
$\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4-(-1);5-3)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(5;2)}$,
то
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ . $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = 2 . 5 + (- 5) . 2 = 0,
тоAB$\perp$AD. Поэтому данный четырёхугольник — прямоугольник.
Осталось доказать, что равны его соседние стороны. Действительно, по формуле
для расстояния между двумя точками
AD = $\displaystyle \sqrt{(4-(-1))^{2}+(5-3)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{25+4}$ = $\displaystyle \sqrt{29}$,
AB = $\displaystyle \sqrt{(1-(-1))^{2}+(-2-3)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+25}$ = $\displaystyle \sqrt{29}$.
Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет