Олимпиадная задача: уравнение окружности по трём точкам из планиметрии, 8-9 класс
Задача
Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).
Решение
Поскольку
$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-2);7-1)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$, $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-9);7-3)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8;4)}$,
то
$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ . $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = 3 . (- 8) + 6 . 4 = 0.
ПоэтомуAC$\perp$BC, т.е. треугольникABC— прямоугольный. Значит, центр его
описанной окружности совпадает с серединойM(x0;y0) гипотенузыAB, а
радиусRэтой окружности равен половине отрезкаAB.
Поскольку
x0 = $\displaystyle {\frac{-2+9}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$, y0 = $\displaystyle {\frac{1+3}{2}}$ = 2, и
R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{(9-(-2))^{2}+(3-1)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{121+4}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{125}}{2}}$,
то искомое уравнение имеет вид
$\displaystyle \left(\vphantom{x-\frac{7}{2}}\right.$x - $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x-\frac{7}{2}}\right)^{2}_{}$ + (y - 2)2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{125}{4}}$.
Ответ
(x - ${\frac{7}{2}}$)2 + (y - 2)2 = ${\frac{125}{4}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет