Олимпиадная задача: окружность, касающаяся осей и проходящая через точку A(2;1)

Поскольку окружность касается осей координат и проходит через точку, расположенную в первой координатной четверти, то центр окружности лежит на прямой y = x. Значит, абсцисса и ордината центра окружности равны её радиусу. Следовательно, уравнение окружности имеет вид

Поскольку точка A(2;1) лежит на окружности, координаты этой точки удовлетворяют полученному уравнению, т.е. (2 - R)² + (1 - R)² = R². Отсюда находим, что R = 1 или R = 5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

(x - 5)² + (y - 5)² = 25 или (x - 1)² + (y - 1)² = 1.