Олимпиадная задача: Найдите точку пересечения медиан треугольника ABC
Задача
Даны точки A(5;5), B(8; - 3) и C(- 4;1). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.
Решение
Первый способ.
Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1,
считая от вершины. Поэтому, если
D(x1;y1) — середина отрезка BC, то
AM : MD = 2 : 1. Известно также, что координаты середины отрезка есть средние
арифметические соответствующих координат его концов. Значит,
x1 = $\displaystyle {\frac{8-4}{2}}$ = 2, y1 = $\displaystyle {\frac{-3+1}{2}}$ = - 1.
Поскольку точка
M(x0;y0) делит отрезок AD в отношении 2:1, считая от
точки A, то по теореме о пропорциональных отрезках проекция точки M на ось
OX делит проекцию отрезка AD на эту ось в том же отношении, т.е.
$\displaystyle {\frac{x_{0}-5}{2-x_{0}}}$ = 2.
Отсюда находим, чтоx0= 3. Аналогично находим, чтоy0= 1.
Второй способ.
Пусть
M(x0;y0) — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Поскольку координаты точки пересечения медиан треугольника есть
средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника, то
x0 = $\displaystyle {\frac{5+8-4}{3}}$ = 3, y0 = $\displaystyle {\frac{5-3+1}{3}}$ = 1.
Ответ
(3;1).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет