Олимпиадная задача по планиметрии: найти вершину параллелограмма ABMC
Задача
Даны точки A(- 6; - 1), B(1;2) и C(- 3; - 2). Найдите координаты вершины M параллелограмма ABMC.
Решение
Первый способ.
Координаты середины
K(x0;y0) диагонали BC параллелограмма ABMC
есть средние арифметические соответствующих координат
концов отрезка BC, т.е.
x0 = $\displaystyle {\frac{1-3}{2}}$ = - 1, y0 = $\displaystyle {\frac{2-2}{2}}$ = 0.
Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам,
то
K(x0;y0) — середина отрезка с концами в точках A(- 6; - 1) и
M(x1;y1).
Поэтому
x0 = $\displaystyle {\frac{-6+x_{1}}{2}}$ = - 1, y0 = $\displaystyle {\frac{-1+y_{1}}{2}}$ = 0.
Отсюда находим, чтоx1= 4, y1= 1.
Второй способ.
Пусть x1, y1 — координаты точки M.
Если ABMC — параллелограмм, то
$\overrightarrow{BM}$ = $\overrightarrow{AC}$, а т.к.
$\displaystyle \overrightarrow{BM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(x_{1}-1;y_{1}-2)}$, $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-3-(-6);-2-(-1)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;1)}$,
то
x1 - 1 = 3, y1 - 2 = - 1.
Отсюда находим, чтоx1= 4, y1= 1.
Ответ
M(4;1).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет