Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111632/problem_111632_img_2.gif"></div>Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей диагоналей.

Стороны<i> AB </i>и<i> CD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>площади 1 разбиты на<i> n </i>равных частей,<i> AD </i>и<i> BC </i>– на<i> m </i>равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рис.1. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

Стороны<i> AB </i>и<i> CD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>площади 1 разбиты на<i> n </i>равных частей,<i> AD </i>и<i> BC </i>– на<i> m </i>равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рис.1. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

В трапеции<i> ABCD </i>с меньшим основанием<i> BC </i>через точку<i> B </i>проведена прямая, параллельная<i> CD </i>и пересекающая диагональ<i> AC </i>в точке<i> E </i>. Сравните площади треугольников<i> ABC </i>и<i> DEC </i>.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, <i>M</i> – точка пересечения его диагоналей, <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABM</i> и <i>CMD</i> соответственно, <i>K</i> – середина дуги <i>AD</i>, не содержащей точек <i>B</i> и <i>C</i>,  ∠<i>O</i>₁<i>KO</i>₂ = 60°,  <i>KO</i>₁ = 10.  Найдите <i>O</i>₁<i>O</i>₂.

Семиугольник, три угла которого равны по120<i>^o </i>, вписан в окружность. Могут ли все его стороны быть различными по длине?

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>CH</i> к гипотенузе <i>AB</i>. Биссектрисы углов <i>CAB</i> и <i>BCH</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а биссектрисы углов <i>CBA</i> и <i>ACH</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что  <i>MN || AB</i>.

Два равносторонних треугольника с периметрами 12 и 15 расположены так, что их стороны соответственно параллельны (см.рис.1). Найдите периметр образовавшегося шестиугольника.

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> известно, что  <i>AB = BC</i>,  ∠<i>A</i> = ∠<i>B</i> = 20°,  ∠<i>C</i> = 30°.  Продолжение стороны <i>AD</i> пересекает <i>BC</i> в точке <i>M</i>, а продолжение стороны <i>CD</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Найдите угол <i>AMN</i>.

Биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

На дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>, выбраны соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что прямые <i>KL</i> и <i>AC</i> параллельны.

Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBL</i> равноудалены от середины дуги <i>ABC</i>.

Окружность<i> σ </i>касается равных сторон<i> AB </i>и<i> AC </i>равнобедренного треугольника<i> ABC </i>и пересекает сторону<i> BC </i>в точках<i> K </i>и<i> L </i>. Отрезок<i> AK </i>пересекает<i> σ </i>второй раз в точке<i> M </i>. Точки<i> P </i>и<i> Q </i>симметричны точке<i> K </i>относительно точек<i> B </i>и<i> C </i>соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> PMQ </i>касается окружности<i> σ </i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а сторону <i>BC</i> – в точке <i>M</i>. Касательная <i>CL</i> к окружности ω такова, что отрезок <i>KL</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что отрезок <i>BT</i> равен по длине касательной, проведённой из точки <i>B</i> к ω.

На сторонах <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>P, Q, R</i> соответственно таким образом, что  <i>AP = CQ</i>  и четырёхугольник <i>RPBQ</i> – вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекают прямые <i>RP</i> и <i>RQ</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  <i>RX = RY</i>.

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника<i> ABC </i>проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Прямые <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₀<i>C</i>₀ пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что отрезок, соединяющий <i>P</i> с центром <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, параллелен <i>AC</i>.

На сторонах<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1соответственно. Докажите, что <center><i>

<img src="/storage/problem-media/111615/problem_111615_img_2.gif">· <img src="/storage/problem-media/111615/problem_111615_img_3.gif">· <img src="/storage/problem-media/111615/problem_111615_img_4.gif"> = <img src="/storage/problem-media/111615/problem_111615_img_5.gif">· <img src="/storage/problem-media/111615/problem_111615_img_6.gif">· <img src="/storage/problem-media/111615/problem_111615_img_7.gif">.

</i></center>

Нижним основанием четырёхугольной усечённой пирамиды является ромб<i> ABCD </i>, у которого<i> AB=</i>4и<i> <img src="/storage/problem-media/111614/problem_111614_img_2.gif"> BAD=</i>60<i>^o </i>.<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1– боковые рёбра усечённой пирамиды, ребро<i> A</i>1<i>B</i>1<i>=</i>2, ребро<i> CC</i>1перпендикулярно плоскости основания и равно 2. На ребре<i> BC </i>взята точка<i> M </i>так, что<i> BM=</i>3, и через точки<i> B</i>1,<i> M </i>и центр ромба<i> ABCD </i>проведена плоскость. Найдите двугранный угол ме...

Ребро правильного тетраэдра<i> ABCD </i>равно<i> a </i>. На рёбрах<i> AB </i>и<i> CD </i>взяты соответственно точки<i> E </i>и<i> F </i>так, что вписанная в тетраэдр сфера делит отрезок<i> EF </i>, на три части, длины которых относятся как 3:5:4, считая от точки<i> E </i>. Найдите длину отрезка<i> EF </i>.

Шар, вписанный в правильную пирамиду<i> ABCD </i>, касается грани<i> ADC </i>в точке<i> K </i>. Через сторону<i> AB </i>основания<i> ABC </i>пирамиды и точку<i> K </i>проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если сторона основания пирамиды равна<i> b </i>, а высота пирамиды равна<i> b<img src="/storage/problem-media/111612/problem_111612_img_2.gif"> </i>.

Ребро правильного тетраэдра<i> ABCD </i>равно<i> a </i>. На рёбрах<i> AB </i>и<i> CD </i>взяты точки<i> E </i>и<i> F </i>так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через<i> E </i>и<i> F </i>, в точках<i> M </i>и<i> N </i>. Найдите длину отрезка<i> EF </i>, если<i> ME:EF:FN=</i>3<i>:</i>12<i>:</i>4.

В правильной четырёхугольной пирамиде<i> SABCD </i>с вершиной<i> S </i>сторона основания пирамиды равна<i> b </i>, а высота пирамиды равна<i> b<img src="/storage/problem-media/111610/problem_111610_img_2.gif"> </i>. Шар, вписанный в эту пирамиду, касается боковой грани<i> SAD </i>в точке<i> K </i>. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро<i> AB </i>и точку<i> K </i>.

В основании пирамиды<i> SABC </i>лежит правильный треугольник<i> ABC </i>, а все боковые грани имеют равные площади. Ребро<i> SA </i>равно 2, ребро<i> SB </i>равно<i> <img src="/storage/problem-media/111609/problem_111609_img_2.gif"> </i>. Через вершину<i> B </i>проведено сечение пирамиды перпендикулярно ребру<i> SC </i>. Найдите площадь этого сечения.