Олимпиадная задача по планиметрии: расстояние между центрами вписанных окружностей четырехугольника
Задача
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, M – точка пересечения его диагоналей, O1 и O2 – центры вписанных окружностей треугольников ABM и CMD соответственно, K – середина дуги AD, не содержащей точек B и C, ∠O1KO2 = 60°, KO1 = 10. Найдите O1O2.
Решение
Точка K – середина дуги AD, поэтому BK – биссектриса вписанного угла ABD, значит, точка O1 лежит на отрезке BK. Аналогично точка O2 лежит на отрезке CK. Лучи MO1 и MO2 – биссектрисы вертикальных углов AMB и CMD, значит, точка M лежит на отрезке O1O2 и ∠BMO1 = ∠DMO2 = ∠CMO2.
Вписанные углы ABD и ACD равны. Значит, ∠MBO1 = ∠MCO2.
По теореме о внешнем угле треугольника ∠KO1O2 = ∠MBO1 + ∠BMO1 = ∠MCO2 + ∠CMO2 = ∠KO2O1, поэтому треугольник O1KO2 – равнобедренный, а так как один из его углов равен 60°, то этот треугольник – равносторонний. Следовательно, O1O2 = KO1 = 10.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь