Олимпиадная задача по планиметрии: вторые точки пересечения окружностей в остроугольном треугольнике ABC
Задача
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
Решение
Пусть высоты AA0, BB0и CC0треугольника ABC пересекаются в точке H . Окружность, проходящая через точку O , касается стороны BC в точке A0и при этом HA0 
BC ,
поэтому A0H – диаметр окружности. Аналогично, HB0и HC0– диаметры остальных окружностей.
Пусть окружности с диаметрами HA0и HB0пересекаются в точке C1. Тогда из точки C1эти диаметры видны под прямым углом, поэтому точка C1лежит на отрезке A0B0. Аналогично, точка A1пересечения окружностей с диаметрами HB0и HC0лежит на отрезке B0C0, а точка B1пересечения окружностей с диаметрами HA0и HC0– на отрезке A0C0.
Вершины треугольника A0B0C0– основания высот остроугольного треугольника ABC , поэтому A0A , B0B и C0C – биссектрисы углов треугольника A0B0C0(ортотреугольника треугольника ABC ).
При симметрии относительно прямой AA0окружность с диаметром A0H переходит в себя, а луч A0C1– в луч A0B1, поэтому точки B1и C1симметричны относительно прямой AA0, значит, B1C1 AA0, а т.к. AA0 BC , то B1C1
|| BC . Аналогично, A1B1 || AB и A1C1 ||
AC . Следовательно, треугольник A1B1C1подобен треугольнику ABC .
Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь