Задание олимпиады: задача по планиметрии для 8-9 классов — доказательство о касательных
Задача
Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а сторону BC – в точке M. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.
Решение
При гомотетии с центром A окружность ω переходит в Ω, точка K – в точку B, а M – в C, значит, прямая KM переходит при этом в параллельную ей прямую BC. Поэтому AMK = ∠C = ∠ACT. Четырёхугольник AMLK вписан в ω, поэтому ∠AMK = ∠ALK = ∠ALT, значит, ∠ALT = ∠ACT. Следовательно, точки A, T, L и C лежат на одной окружности. Из теоремы об угле между касательной о хордой ∠ATC = ∠ALC = ∠AKL = ∠AKT, поэтому ∠BKT = 180° – ∠AKT = 180° – ∠ATC = ∠ATB.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь