Олимпиадная задача по планиметрии: окружности и касания в треугольнике для 8-9 класса

Пусть D и E – точки касания окружности со сторонами AB и AC . Тогда AD=AE , поэтому углы при основании DE равнобедренного треугольника ADE равны углам при основании BC равнобедренного треугольника ABC , значит, DE || BC .

При гомотетии с центром A и коэффициентом точка M переходит в точку K , окружность σ – в некоторую окружность σ1, проходящую через точку K , точка D касания прямой AB с окружностью σ – в точку D' касания прямой AD с окружностью σ1, отрезок MD – в параллельный ему отрезок KD' .

По теореме о касательной и секущей

BD2 = BL· BK =BD'2,

значит, BD=BD' , а т.к. BK=BP , то четырёхугольник DKD'P – параллелограмм, поэтому DP || KD' . Следовательно, точки M , D и P лежат на одной прямой. Аналогично, точки M , E и Q лежат на одной прямой.

При гомотетии с центром M , переводящей точку D в точку P , точка E переходит в точку Q , треугольник DME – в треугольник PMQ , а окружность, описанная около треугольника DME – в окружность, описанную около треугольника PMQ . Следовательно, эти две окружности касаются в точке M .

Ответ задачи отсутствует