Задача № 211633
Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211632
Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (см. рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.
Задача № 211631
Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей диагоналей.
Задача № 211630
Стороны AB и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и BC – на m равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рис.1. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?
Задача № 211629
Стороны AB и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и BC – на m равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рис.1. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?
Задача № 211628
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC через точку B проведена прямая, параллельная CD и пересекающая диагональ AC в точке E . Сравните площади треугольников ABC и DEC .
Задача № 211627
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, M – точка пересечения его диагоналей, O1 и O2 – центры вписанных окружностей треугольников ABM и CMD соответственно, K – середина дуги AD, не содержащей точек B и C, ∠O1KO2 = 60°, KO1 = 10. Найдите O1O2.
Задача № 211626
Семиугольник, три угла которого равны по120o , вписан в окружность. Могут ли все его стороны быть различными по длине?
Задача № 211625
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH к гипотенузе AB. Биссектрисы углов CAB и BCH пересекаются в точке M, а биссектрисы углов CBA и ACH – в точке N. Докажите, что MN || AB.
Задача № 211624
Два равносторонних треугольника с периметрами 12 и 15 расположены так, что их стороны соответственно параллельны (см.рис.1). Найдите периметр образовавшегося шестиугольника.
Задача № 211623
В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC, ∠A = ∠B = 20°, ∠C = 30°. Продолжение стороны AD пересекает BC в точке M, а продолжение стороны CD пересекает AB в точке N. Найдите угол AMN.
Задача № 211622
Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B1C1 пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.
Задача № 211621
На дугах AB и BC окружности, описанной около треугольника ABC, выбраны соответственно точки K и L так, что прямые KL и AC параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и CBL равноудалены от середины дуги ABC.
Задача № 211620
Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L . Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности σ .
Задача № 211619
Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а сторону BC – в точке M. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.
Задача № 211618
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что AP = CQ и четырёхугольник RPBQ – вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что RX = RY.
Задача № 211617
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
Задача № 211616
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром I вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.
Задача № 211615
На сторонах BC , CA , AB треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1соответственно. Докажите, что · · = · · .
Задача № 211614
Нижним основанием четырёхугольной усечённой пирамиды является ромб ABCD , у которого AB=4и BAD=60o . AA1, BB1, CC1, DD1– боковые рёбра усечённой пирамиды, ребро A1B1=2, ребро CC1перпендикулярно плоскости основания и равно 2. На ребре BC взята точка M так, что BM=3, и через точки B1, M и центр ромба ABCD проведена плоскость. Найдите двугранный угол между этой плоскостью и плоскостью AA1C1C .
Задача № 211613
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты соответственно точки E и F так, что вписанная в тетраэдр сфера делит отрезок EF , на три части, длины которых относятся как 3:5:4, считая от точки E . Найдите длину отрезка EF .
Задача № 211612
Шар, вписанный в правильную пирамиду ABCD , касается грани ADC в точке K . Через сторону AB основания ABC пирамиды и точку K проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если сторона основания пирамиды равна b , а высота пирамиды равна b .
Задача № 211611
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4.
Задача № 211610
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания пирамиды равна b , а высота пирамиды равна b . Шар, вписанный в эту пирамиду, касается боковой грани SAD в точке K . Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро AB и точку K .
Задача № 211609
В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC , а все боковые грани имеют равные площади. Ребро SA равно 2, ребро SB равно . Через вершину B проведено сечение пирамиды перпендикулярно ребру SC . Найдите площадь этого сечения.
451–475 из 7538