Олимпиадная задача по планиметрии: центры вписанных окружностей и равноудалённость

  Пусть I₁ и I₂ – центры вписанных окружностей треугольников соответственно ABK и CBL, а прямые BI₁ и BI₂ вторично пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Так как лучи BP и BQ – биссектрисы вписанных углов ABK и CBL, то точки P и Q – середины равных дуг APK и CQL, значит,  AP = CQ.

  Вписанные углы KAP и KBP равны, а так как AI₁ и BI₁ – биссектрисы углов BAK и ABK, то

∠PAI₁ = ∠KAP + ∠KAI₁ = ∠KBP + ∠BAI₁ = ∠KBI₁ + ∠BAI₁ = ∠ABI₁ + ∠BAI₁ = ∠PI₁A  (PI₁A – внешний угол треугольника AI₁B). Следовательно, треугольник API₁ – равнобедренный,  AP = PI₁.  Аналогично  CQ = QI₂,  а так как  AP = CQ,  то  PI₁ = QI₂.

  Пусть R – середина дуги ABC. Тогда  RP = RQ.  ∠I₁PR = ∠BPR = ∠BQR = ∠I₂QR,  значит, треугольники I₁PR и I₂QR равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  I₁R = I₂R.